■空間充填等面単体(その13)

 高次元のサマーヴィル四面体を等面単体かつ空間充填図形と定義.いくつか面白い性質を発見した.それについては後述するが,ここではこれまでのまとめをしておきたい.

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 等面四面体は無数にあり,空間充填四面体も無数にあることが知られている.しかし,両方の性質をもつ図形はただ一つであると思われる.その意味では,かなり特殊な単体であるが,証明はわからない.

[Q]等面四面体は無数にある,空間充填充填四面体は無数にある.空間充填可能な等面四面体は一意であるか?

[A]空間充填可能な等面四面体は多分Sommerville四面体だけだと思いますが,どのようにして証明すればよいかはわかりません.空間充填可能な(3次元)単体の族はまだ完全には決定されてないからなのでしょう.

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 サマーヴィルの公式

  2^n(n!)^2V^2=abs(行列式)

[1]正単体の体積に対応するサマーヴィルの公式の行列式は

  (n+1)n^n

[2]正単体の底面体積に対応する行列式は

  n^n

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