等面四面体の対辺はねじれの位置にあり，そのため，６辺は直方体に内接する．逆にいうと，任意の直方体の４頂点を結べば等面四面体ができあがる．ここで

［Ｑ］３辺の長さが２，√３，√３である等面四面体の体積は？

という問題を考えてみよう．

［Ａ］等面四面体を直方体（ａ，ｂ，ｃ）に内接させる．

　　ａ^2＋ｂ^2＝４

　　ｂ^2＋ｃ^2＝３

　　ｃ^2＋ａ^2＝３

より，

　　ａ^2＝２，ｂ^2＝２，ｃ^2＝１

　　Ｖ＝ａｂｃ−４ａｂｃ／６＝ａｂｃ／３＝２／３

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

　ここで述べた体積の計算法は，直方体（立方体）に等面四面体（正四面体）が内接するという３次元だけに適用できる方法である．

　頂点の座標でなく，辺の長さが与えられている場合は，２次元の場合のヘロンの公式のように六斜術を一般化した行列式によって，単体の体積が計算できる．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

　ｎ次元単体の各頂点間の距離が既知のとき，体積Ｖを計算する公式は

［１］ｎ＝２のときのヘロンの公式

　２^2（２！）^2Ｓ^2＝｜０，ｄ01^2，ｄ02^2，１｜

　　　　　　　　　　　｜ｄ10^2，０，ｄ12^2，１｜

　　　　　　　　　　　｜ｄ20^2，ｄ21^2，０，１｜

　　　　　　　　　　　｜１　　，　　１，１，０｜

［２］ｎ＝３のときのオイラーの体積公式＝「六斜術」

　２^3（３！）^2Ｖ^2＝｜０，ｄ01^2，ｄ02^2，ｄ03^2，１｜

　　　　　　　　　　　｜ｄ10^2，０，ｄ12^2，ｄ13^2，１｜

　　　　　　　　　　　｜ｄ20^2，ｄ21^2，０，ｄ23^2，１｜

　　　　　　　　　　　｜ｄ30^2，ｄ31^2，ｄ32^2，０，１｜

　　　　　　　　　　　｜１　　，　　１，　　１，１，０｜

　ここではオイラーの体積公式＝「六斜術」の公式を使ってみたい．

　｜０，３，４，３，１｜

　｜３，０，３，４，１｜

　｜４，３，０，３，１｜

　｜３，４，３，０，１｜

　｜１，１，１，１，０｜＝１２８

　　２８８Ｖ^2＝１２８

　　Ｖ^2＝１２８／２８８＝４／９

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝