■空間充填等面単体(その10)

 等面四面体の対辺はねじれの位置にあり,そのため,6辺は直方体に内接する.逆にいうと,任意の直方体の4頂点を結べば等面四面体ができあがる.ここで

[Q]3辺の長さが2,√3,√3である等面四面体の体積は?

という問題を考えてみよう.

[A]等面四面体を直方体(a,b,c)に内接させる.

  a^2+b^2=4

  b^2+c^2=3

  c^2+a^2=3

より,

  a^2=2,b^2=2,c^2=1

  V=abc−4abc/6=abc/3=2/3

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 ここで述べた体積の計算法は,直方体(立方体)に等面四面体(正四面体)が内接するという3次元だけに適用できる方法である.

 頂点の座標でなく,辺の長さが与えられている場合は,2次元の場合のヘロンの公式のように六斜術を一般化した行列式によって,単体の体積が計算できる.

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 n次元単体の各頂点間の距離が既知のとき,体積Vを計算する公式は

[1]n=2のときのヘロンの公式

 2^2(2!)^2S^2=|0,d01^2,d02^2,1|

           |d10^2,0,d12^2,1|

           |d20^2,d21^2,0,1|

           |1  ,  1,1,0|

[2]n=3のときのオイラーの体積公式=「六斜術」

 2^3(3!)^2V^2=|0,d01^2,d02^2,d03^2,1|

           |d10^2,0,d12^2,d13^2,1|

           |d20^2,d21^2,0,d23^2,1|

           |d30^2,d31^2,d32^2,0,1|

           |1  ,  1,  1,1,0|

 ここではオイラーの体積公式=「六斜術」の公式を使ってみたい.

 |0,3,4,3,1|

 |3,0,3,4,1|

 |4,3,0,3,1|

 |3,4,3,0,1|

 |1,1,1,1,0|=128

  288V^2=128

  V^2=128/288=4/9

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