■空間充填等面単体(その8)

 3辺の長さがa,b,cで与えられた三角形の面積S’,6辺の長さがa,b,c,d,e,fで与えられた四面体の体積V’は,それぞれ

  2^2(2!)^2S’^2=|0  a^2 b^2 1|

             |a^2 0  c^2 1|

             |b^2 c^2 0  1|

             |1  1  1  0|

 2^3(3!)^2V’^2=|0  a^2 b^2 c^2 1|

            |a^2 0  d^2 e^2 1|

            |b^2 d^2 0  f^2 1|

            |c^2 e^2 f^2 0  1|

            |1  1  1  1  0|

となります.

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【1】サマーヴィルの公式

 これらはサマーヴィルの公式と呼ばれるものであるが,オリジナルは

  2^2(2!)^2S’^2=|0 −1  −1  −1 |

             |1  0  −a^2 −b^2|

             |1 −a^2  0  −c^2|

             |1 −b^2 −c^2  0 |

 2^3(3!)^2V’^2=|0 −1  −1  −1  −1 |

            |1  0  −a^2 −b^2 −c^2|

            |1 −a^2  0  −d^2 −e^2|

            |1 −b^2 −d^2  0  −f^2|

            |1 −c^2 −e^2 −f^2  0 |

になっている.

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