■空間充填等面単体(その6)

[1]平行四辺形の面積

 a1=(a11,a12),a2=(a21,a22)

 S=abs(det|a1,a2|)=|a11,a12|

                  |a21,a22|

 S^2=|(a1,a1),(a1,a2)|

    |(a2,a1),(a2,a2)|

[2]三角形の面積

  2S=|a11,a12|

     |a21,a22|

 4S^2=|(a1,a1),(a1,a2)|

     |(a2,a1),(a2,a2)|

辺の長さ所与の場合の公式に変えると4倍

 16S^2=|0,d01^2,d02^2,1|

      |d10^2,0,d12^2,1|

      |d20^2,d21^2,0,1|

      |1  ,  1,1,0|

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[3]平行六面体の体積

 V=abs(det|a1,a2,a3|)=|a11,a12,a13|

                     |a21,a22,a23|

                     |a31,a32,a33|

 V^2=|(a1,a1),(a1,a2),(a1,a3)|

    |(a2,a1),(a2,a2),(a2,a3)|

    |(a3,a1),(a3,a2),(a3,a3)|

[4]四面体の体積

  6V,36V^2

辺の長さ所与の場合の公式に変えると8倍

 288V^2=|0,d01^2,d02^2,d03^2,1|

       |d10^2,0,d12^2,d13^2,1|

       |d20^2,d21^2,0,d23^2,1|

       |d30^2,d31^2,d32^2,0,1|

       |1  ,1  ,1  ,1,0|

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[まとめ]ヘロンの公式を一般化した行列式

  n=2の場合,2^2(2!)^2S^2

  n=3の場合,2^3(3!)^2V^2

  n=nの場合,2^n(n!)^2V^2

 これで,h0=nV/Sで高さを求めることができる.

[1]行列式で求めたものは288V^2

[2]行列式で求めたものは16S^2

[3]h0=3(行列式/288・16/行列式)^1/2

[4]h0=3(行列式/行列式/18)^1/2

 一般に

[5]h0=n(行列式/行列式/2n^2)^1/2

[6]h0=(行列式/行列式)^1/2/√2

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