ラビノヴィッチは，多項式

　　ｆk（ｘ）＝ｘ^2＋ｘ＋ｋ，ｋは素数

につき，１≦ｘ≦ｋ－１がすべて素数であるための必要十分条件が

　　ｈ（１－４ｋ）＝１

であることを示した．

　　ｘ^2＋ｘ＋４１

はｈ（－１６３）＝１を意味しているというわけである．

　ラビノヴィッチの定理の２次体論を使わない証明は・・・

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［１］ｋ＝２，３，５の場合は直接確かあることができる．

［２］ｋ≧７，ｈ（１－４ｋ）＝１とする．

１≦ｘ≦ｋ－１について，ｆk（ｘ）が合成数であるならばｐ≦ｆk（ｘ）＜ｋとなる素因数が存在する．また，ｆk（ｘ）は［１，－１，ｋ］によって正規表現される→ｐは判別式１－４ｋの形式にて表現される．つまり，類数に関する仮定により形式［１，－１，ｋ］自身がｐを表現する．

（２ｕ－ｖ）^2＋（４ｋ－１）ｖ^2＝４ｐ＜４ｋ－１なる｛ｕ，ｖ｝が存在することになるが，明らかにｖ＝０，ｕ＝±１→ｐ＝１（矛盾）

［３］ｈ（１－４ｋ）≧２とする．

このとき［１，－１，ｋ］と合同でない［ａ，ｂ，ｃ］，ｂ^2－４ａｃ＝１－４ｋが存在し，２≦ａ≦｛（１－４ｋ）／３｝^1/2

１－４ｋ　ｍｏｄ４ａは２次剰余→ａが偶数ならばｋも偶数（矛盾）

→ａが奇数ならば（２ｇ－１）^2＝１－４ｋをみたす１≦ｇ≦ａが存在する→ｆk（ｇ）＝０　ｍｏｄａ

→ｆk（ｇ）が合成数ならばｇ≦｛（１－４ｋ）／３｝^1/2（矛盾）

→ｆk（ｇ）が素数ならばａ＝ｆk（ｇ）→ｆk（ａ＋ｇ）＝ａ（ａ＋２ｇ）は合成数，しかるにａ＋ｇ≦｛（１－４ｋ）／３｝^1/2＜ｋ（矛盾）

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