ｘ^2＋ｘ＋４１のｘに０，１，２，・・・，３９を入れてできる数はすべて素数である（オイラー，１７７２年）．

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　同様に，ｘ^2＋ｘ＋１７のｘに０，１，２，・・・，１５を入れてできる数はすべて素数である．

　たとえば，１５＝３・５（合成数）に対して，ｘ^2＋ｘ＋１５はｘ＝３，ｘ＝５のとき，合成数となるので，以下，ｐを素数として，

　　ｘ^2＋ｘ＋ｐ

を考える．

　実は，ｘ^2＋ｘ＋ｐのｘに０，１，２，・・・，ｐ−２を入れてできる数がすべて素数であるのは，ｐ＝２，３，５，１１，１７，４１しかない（１９６７年）．

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　その値の多くが素数となる式は，昔から知られていて

オイラーの２次式：ｆ（ｘ）＝ｘ^2＋ｘ＋４１　　ｘ＝０−３９

以外では

ルビーの２次式：ｆ（ｘ）＝｜３６ｘ^2−８１０ｘ＋２７５３｜　　ｘ＝０−４４．

　他にも素数をよく生成する式として

フロベニウスの２次式：ｆ（ｘ）＝２ｘ^2＋２ｘ＋１９

４ｘ^2＋１７０ｘ＋１８４７

４ｘ^2＋４ｘ＋５９

などが知られています．

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