[5] {an+b},(a,b)=1なる無限等差数列の中には素数が無限に存在する(ディリクレ、１８３７年)

予想：２^n-1型素数は無限に存在する（メルセンヌ）

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［Ｑ］４ｎ＋３型奇数の中に素数が無限にあることを証明せよ．

　４ｎ＋３型素数を小さい方から順にｐ1＝３，ｐ2＝７，・・・，ｐn（最大の４ｎ＋３型素数）とする．

　　ｑ＝４（ｐ1ｐ2・・ｐn）＋３

が素数であるとするとｐnより大きな素数が存在することになり矛盾．

　合成数であるとするとｐkで割り切れないので，４ｎ＋１型素数では割り切れるはずである．もし，ｑのすべての約数が４ｎ＋１型だけならば，その積であるｑは４ｎ＋１型になるが，ｑは４ｎ＋３型なので再び矛盾．（４ｎ＋３型約数は少なくともひとつは存在する．

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［Ｑ］４ｎ＋１型奇数の中に素数が無限にあることを証明せよ．

　４ｎ＋１型素数を小さい方から順にｐ1＝５，ｐ2＝１３，・・・，ｐn（最大の４ｎ＋１型素数）とする．

　　ｑ＝４（ｐ1ｐ2・・ｐn）＋１

が素数であるとするとｐnより大きな素数が存在することになり矛盾．

　合成数であるとするとｐkで割り切れないので，４ｎ＋３型素数では割り切れるはずである．もし，ｑのすべての約数が４ｎ＋３型だけならば，その積であるｑは４ｎ＋３型になるとは限らない．

　たとえば，

　　ｑ＝（４ｍ＋３）（４ｎ＋３）＝１２ｍｎ＋１２ｍ＋１２ｎ＋９

　　　＝４（３、ｍ＋３ｍ＋３ｎ＋２）＋１

となり，この証明はうまくいかない．

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［Ｑ］ディリクレの算術級数定理（１８３７年）

　　数列｛ａ＋ｎｄ｝，ａとｏｄは互いの素

のなかに素数は無限に存在する．

　そして，有名な素数定理（ＰＴ）は，漸近分布の形で

　　π（ｘ）〜ｘ／ｌｏｇｘ

と表すことができます．素数は無限個存在し，そして等差数列｛ａ＋ｋｎ｝にも素数は無限に含まれるのですが，素数ｐでａ＋ｋｎの形のものの分布問題がディリクレの算術級数定理です．

　　π（ｘ；ａ，ｎ）〜Ｃ・ｘ／ｌｏｇｘ　　　Ｃ＝１／φ（ｎ）

　算術級数定理は素数定理を精密化したもので，初項ａの取り方にはよらないのですが，ここで，オイラーの関数φ（ｎ）は１からｎ−１までの整数のうち，ｎと互いに素になるものの個数

　　φ（ｎ）＝＃（Ｚ／ｎＺ）

として定義されます．たとえば，ｎ＝７の場合，１，２，３，４，５，６なのでφ（７）＝６，ｎ＝１０の場合１，３，７，９がそうなのでφ（１０）＝４となります．

　１７６０年頃，オイラーは，数ｎが素因数ｐ，ｑ，ｒ，・・・をもつときに，それらの重複度にかかわらず，

　　φ（ｎ）＝ｎ（１−１／ｐ）（１−１／ｑ）（１−１／ｒ）・・・

であることを示しました．この原理は「エラトステネスのふるい」によっているのですが，たとえば，１０＝２・５，４４＝２^2・１１，１００＝２^2・５^2より，

　　φ（１０）＝１０（１−１／２）（１−１／５）＝４

　　φ（４４）＝４４（１−１／２）（１−１／１１）＝２０

　　φ（１００）＝１００（１−１／２）（１−１／５）＝４０

また，任意の素数ｐに対して，

　　φ（ｐ^n）＝ｐ^n（１−１／ｐ）

したがって，

　　φ（ｐ）＝ｐ（１−１／ｐ）＝ｐ−１

となります．

　なお，算術級数定理の証明にはディリクレのＬ関数

　　Ｌ（ｓ，χ）＝Π（１−χ（ｐ）ｐ^(-s)）^(-1)

　　　　χは乗法群（Ｚ／ｎＺ）の１次元表現

が用いられます．

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