■素数の無限性(その29)

n!を素因数分解したとき,ある素数pがp^rの形で含まれていたとすると,ガウス記号[・]を用いて

  r=[n/p]+[n/p^2]+・・・+[n/p^s]+・・・

(Q)a+b+・・・+l=nとおく.このことを適用して

  n!/a!b!・・・l!

が整数であることを証明せよ.

(A)素数pはn!,a!,b!,・・・,l!をそれぞれ

  [n/p]+[n/p^2]+・・・

  [a/p]+[a/p^2]+・・・

  [b/p]+[b/p^2]+・・・

  [l/p]+[l/p^2]+・・・

で割り切る.しかも,

  [n/p^s]≧[a/p^s]+[b/p^s]+・・・+[l/p^s]

であることよりQED.

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