■素数の無限性(その14)

【1】タイシンガーの問題

(問)n>1ならば,

  Hn=1/1+1/2+1/3+1/4+・・・+1/n

は決して整数にはならないことを示せ.   (タイシンガー,1915年)

 たとえば,分母が2のべき乗になっている項のうちで,その指数が最大のものを考えると,それと組になる項がどこにもありません.このことから,Hnは分子が奇数で,分母が偶数の分数になるのですが,このことをきちんとした形で書いてみましょう.

(証)2^k≦nとなる最大の指数をk,Pをn以下のすべての奇数の積とすると,

  2^(k-1)PHn

 =2^(k-1)P(1/1+1/2+1/3+1/4+・・・+1/n)

は,2^(k-1)P/2^k以外の項はすべて整数となる.

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【2】ベルトランの仮説「nと2nの間に素数がある」

 これに対して,別証を与えてみましょう.

(問) Hn=1/1+1/2+1/3+1/4+・・・+1/n≠整数

(別証)n未満のnにもっとも最も近い素数p(>n/2に必ずある:ベルトラン・チェビシェフの定理「nと2nの間に素数がある」)を考える.Pをp未満のすべての素数の積とすると,

  PHn=p(1/1+1/2+1/3+・・・+1/p+・・・+1/n)

 このとき,1/pは分母にpが残り,1/pは他に打ち消す項がないので整数になりそうもありません.nが素数ならもちろん整数でない.合成数でも奇数の素因子があれば分母に残る.これはおおざっぱですが,これを精密化すれば完全な証明になりそうです.

 ベルトランの仮説については,コラム「ベルトラン・チェビシェフの定理とエルデシュによる初等的証明」をご参照下さい.

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【3】類似問題

 タイシンガーと類似の問題としては,

(問) 1/(a+1)+1/(a+2)+・・・+1/(a+n)

は決して整数にはならない   (クルシュチャク,1918年)

(問) 1/(a+d)+1/(a+2d)+・・・+1/(a+nd)

は決して整数にはならない   (エルデシュ,1932年)

などがあげられます.

 たとえば,

(問)Sn=1/1+1/3+1/5+1/7+・・・+1/(2n+1)

と定義すると,S1=1,S2=4/3,S3=23/15,・・・,S∞=∞となります.それでは,n>1ならば,Sn は整数にはならないことを示せ.

(証)3^k≦2n+1となる最大の指数をk,Pを6と互いに素かつ2n+1以下のすべての整数の積とすると,

  3^(k-1)PSn

 =3^(k-1)P(1/1+1/3+1/5+1/7+・・・+1/(2n+1))

は,3^(k-1)P/3^k以外の項はすべて整数となる.

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

  Sn=1/(a+d)+1/(a+2d)+・・・+1/(a+nd)

において,a=1の場合は次のように一般化することができる.

(証)(d+1)^k≦dn+1となる最大の指数をk,Pを(d+1)!と互いに素かつdn+1以下のすべての整数の積とすると,

  (d+1)^(k-1)PSn

は,(d+1)^(k-1)P/(d+1)^k以外の項はすべて整数となる.

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