■素数の無限性(その6)

 素数の分布は不規則かつ複雑で未知の部分が多いのですが,18世紀から19世紀にまたがって活躍したガウスは「素数はどのような規則で現れるか」ということを考え,素数定理を予想しました(1792年:ガウスは当時15才であった).

 素数定理とは,

  π(x)〜x/logx   (x→∞)

というものです.ここで,π(x)は任意の整数xを越えない素数の個数を表すものとします.すなわち,素数定理はxを超えない素数の個数を与える近似的な公式であって,xに近い2つの連続した素数間の平均距離はおよそlogxだといってもよいでしょう.

 1850年に,ロシアの数学者チェビシェフは,ベルトランの仮説と呼ばれる命題:任意の数nと2nの間には少なくとも一つの素数pが存在する(n<p≦2n),あるいは同じことですが,素数pの次の素数は2pより小さい(pk+1 <2pk )という定理を証明しました.

 この証明は彼が実に18才のときだったそうですから,「栴檀は双葉よりの芳し」の諺のごとくです.チェビシェフの定理によって,素数の分布には何らかの秩序が存在していることになります.(なお,ベルトランの仮説に対しては,ずっと簡単な証明がラマヌジャンやエルデシュ(1932年,19歳)によって与えられています.)

 さらに,チェビシェフは1852年に,十分大きなxについてπ(x)/(x/logx)が0.92129と1.10555の間にあるという結果を得ています.

  c1x/logx<π(x)<c2x/logx

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 チェビシェフの定理は,大きな数の場合,この近似値の誤差は11%以下であるというものですが,もちろん現実にはずっと小さいわけです.

 この漸近評価を得るためにチェビシェフは,オイラーによって1740年に考案されたゼータ関数(のちにリーマンがこの名前を付けた)を利用しました.また,この結果を得るのには非常に巧みな組み合わせ的推論が用いられているのですが,漸近評価の一部は不等式

  2^2n/(2n+1)≦2nCn≦2^2n

に基づいています.上界はΣ2nCk=2^2nより明らか,下界は2n+1個の二項係数の中で2nCnが最大であり,平均が2^2n/(2n+1)であることから証明されます.この評価は簡単ではありますが,かなり正確です.

 2nCnについては,さらに正確な評価を与える

  2^2n/(2√n)≦2nCn≦2^2n/√2n

などの評価式もしばしば使われます.また,スターリングの公式を使うとより精密な結果

  2nCn〜2^(2n)/√(πn)

が得られますが,この評価は数論,素数定理などとも関係しています.

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 チェビシェフはゼータ関数を使って素数を数え上げたのですが,それがこの分野を大きく前進させたのですが,1859年,進歩をさらに押し進めたのが,リーマンです.現在,ゼータ関数がチェビシェフ・ゼータ関数でなく,リーマン・ゼータ関数と呼ばれる所以です.

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