[4]素数定理(アダマール、プーサン・１８９６年）

　　#P(N)=(1+o(1))・N/logN

予想#P(N)=∫(2,∞)dt/logt+O(√x・logx)はリーマン予想と同値である（コッホ）

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　さらに，素数定理にはもっとうまい近似法があります．素数の密度関数はπ（ｘ）／ｘですから，

　　π（ｘ）／ｘ〜１／ｌｏｇｘ　　　（ｘ→∞）

です．１／ｌｏｇｘが１からｘまでの平均的な素数の密度と考えられますが，これをｘの近くの素数の密度と考え，区間［１，ｘ］を小区間に区切って積分してみます．

　　Ｌｉ（ｘ）＝∫(2,x)ｄｔ／ｌｏｇｔ

Ｌｉ（ｘ）は対数積分関数と呼ばれます．大きい整数は素数でありにくく，小さいものほど素数でありやすいでしょうから，π（ｘ）をｘ／ｌｏｇｘで近似するより，対数積分を用いたＬｉ（ｘ）の近似はさらに適切な素数分布の近似式になっています．

　部分積分により

　　∫(2,x)ｄｔ／ｌｏｇｔ＝ｘ／ｌｏｇｘ＋１！ｘ／（ｌｏｇｘ）^2＋・・・＋（ｍ−１）！ｘ／（ｌｏｇｘ）^m＋・・・

より，

　　Ｌｉ（ｘ）〜ｘ／ｌｏｇｘ

ですから

　　π（ｘ）〜Ｌｉ（ｘ）

が得られます．また，

　　（ｘ／ｌｏｇｘ）’＝１／ｌｏｇｘ−１／（ｌｏｇｘ）^2

から簡単にわかるように

　　π（ｘ）＝Ｌｉ（ｘ）＋Ｏ（ｘ／ｌｏｇｘ）

とも書くことができます．

　素数定理はπ（ｘ）の初項だけを求めた定理であるといえるのですが，自然な流れとして，π（ｘ）の第２項は何かという問題がおこってきます．誤差項

　　Ｏ（ｘ／ｌｏｇｘ）

において，ｘ→∞のとき，ｌｏｇｘはｘに較べて十分小さいのでこれを無視して「ほぼｘの１乗に等しい」と考えることができます．

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　素数定理は，ガウス以降，多くの数学者たちが証明できなかった難問でしたが，ガウスの予想から約１００年後の１８９６年，フランスの数学者アダマールとプーサンは，同じ年に独立に，リーマンによって複素数まで拡張されたゼータ関数を用いてガウスの素数定理を証明しました．

　彼らが素数定理を証明したとき，実際に示したのは

　　π（ｘ）＝Ｌｉ（ｘ）＋Ｏ（ｘｅｘｐ（−ｃ(ｌｏｇｘ)^(1/2)））

が成り立つということでした．誤差項のｌｏｇｘは無視できるので，ｘの１乗に等しいということになります．

　この誤差項はゼータ関数の零点の非存在に依存していて，ｘ^eと表されるとすると，ゼータ関数の零点の実部の最大値に等しくなることがわかっています．したがって，もしリーマン予想「リーマンのゼータ関数ζ（ｓ）の実部が０と１の間にあり，零点の実部はすべて１／２である（１８５９年）」が正しければ，この近似を

　　π（ｘ）＝Ｌｉ（ｘ）＋Ｏ（ｘ^(1/2)ｌｏｇｘ）

のようにもっとよくすることができるのです（フォン・コッホ，１９０１年）．

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