■素数の無限性(その1)

 素数が無限に存在すること・√2が無理数であることは,ギリシア数学のなかでも有名な定理です.それぞれユークリッドとピタゴラスが背理法を用いて証明していますが,その証明はだれしもが容易に理解できるものです.

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【1】√2が無理数であること

 √2が有理数であると仮定する.

  √2=p/q  (p,qは互いに素な整数)

 p=√2qの両辺を2乗すると,p^2=2q^2→pは偶数(p=2r)

 4r^2=2q^2→q^2=2r^2→qは偶数.

これはp,qは互いに素な整数という仮定に反する.

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【2】素数が無限に存在すること

 素数は有限個しかないと仮定する.p1,p2,・・・,pn

  N=p1・p2・・・pn+1

とおく.Nをp1,p2,・・・,pnで割ると1余る.

 Nは新しい素数であるか合成数であるか,いずれか一方であるが,いずれにせよ,素数は有限個しかないという仮定に反する.

  N=2・3・5+1=31  (素数)

  N=3・5・7+1=106=2:53  (非素数)

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