ガウスは，π（ｘ）をｘ以下の素数の個数とすると，

　　π（ｘ）〜ｘ／ｌｏｇｘ　　　（ｘ→∞）

が成り立つだろうと予想しました．この予想はリーマンの研究を経て，１８９６年，フランスの数学者アダマールとプーサンによって証明されました．これを素数定理といいます．　今回のコラムでは素数定理の精緻化とリーマン予想の関係について述べてみることにします．

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【１】リーマン予想

　リーマンのゼータ関数について，簡単に復習しておく．ゼータ関数は，整数をわたる無限和（ディリクレ級数）

　　ζ（ｓ）＝Σ１／ｎ^s

として定義される関数である．

　また，ゼータ関数は素数全体をわたる無限積

　　ζ（ｓ）＝Π（１−ｐ^(-1)）^(-1)

　　　　　　＝Π（1+1/p^s+1/p^2n+1/p^3n+･･･）

　　　　　　＝（1+1/2^s+1/2^2n+1/2^3n+･･･）（1+1/3^s+1/3^2n+1/3^3n+･･･）（1+1/5^s+1/5^2n+1/5^3n+･･･）･･･

に等しいことがわかっている．右辺

　　Π（１−ｐ^(-1)）^(-1)

はディリクレ級数を丸ごと素因数分解したようなものであって，オイラー積と呼ばれる．

　ζ（ｓ）の重要な性質（の一部）は，テータ関数に関するヤコビの恒等式

　　Σｅｘｐ（−πｍ^2／ｔ）＝√ｔΣｅｘｐ（−πｍ^2ｔ）

すなわち，

　　θ（ｔ）＝Σｅｘｐ（−πｍ^2ｔ）

とおくと，

　　θ（１／ｔ）＝√ｔθ（ｔ）

およびガンマ関数

　　Γ（ｓ）＝∫(0,∞)ｔ^(s-1)ｅｘｐ（−ｔ）ｄｔ

から導出される．

　これらを用いると

　　ξ（ｓ）＝π^(-s/2)Γ（s/2）ζ（ｓ）

　　　　　　＝∫(0,∞)1/2{θ（ｔ）−１}ｔ^(s/2-1)ｄｔ

　　　　　　＝π^(-(1-s)/2)Γ（(1-s)/2）ζ（１−ｓ）

より，関数等式

　　ξ（ｓ）＝ξ（１−ｓ）

が得られる．この対称性はs=1/2の軸に関するものであるが，１８５９年，リーマンはゼータ関数ζ（ｓ）の複素零点がs=-2,-4,･･･,-2n,とs=1/2+itの線上にあるという仮説を発表した．これがかの有名なリーマン予想（１８５９年）である．この予想は一部に素数定理なども含む数学上の最大の難問であって，１４０年以上経たいまも証明されないままになっている．そのため，数学における未解決問題のうち最も難しいものと考える人も多い．

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【２】素数定理の精緻化

　リーマン予想は，一部に素数定理なども含む数学上の最大の難問であって，素数定理

　　π（ｘ）〜ｘ／ｌｏｇｘ

を精密化する問題と考えることができる．

　　Ｌｉ（ｘ）＝∫(2,x)ｄｔ／ｌｏｇｔ

Ｌｉ（ｘ）は対数積分関数と呼ばれる．大きい整数は素数でありにくく，小さいものほど素数でありやすいから，π（ｘ）をｘ／ｌｏｇｘで近似するより，対数積分を用いたＬｉ（ｘ）の近似はさらに適切な素数分布の近似式になっている．部分積分により

　　∫(2,x)ｄｔ／ｌｏｇｔ＝ｘ／ｌｏｇｘ＋１！ｘ／（ｌｏｇｘ）^2＋・・・＋（ｍ−１）！ｘ／（ｌｏｇｘ）^m＋・・・

すなわち，

　　Ｌｉ（ｘ）〜ｘ／ｌｏｇｘ

であるから

　　π（ｘ）〜Ｌｉ（ｘ）

また，

　　（ｘ／ｌｏｇｘ）’＝１／ｌｏｇｘ−１／（ｌｏｇｘ）^2

から簡単にわかるように

　　π（ｘ）＝Ｌｉ（ｘ）＋Ｏ（ｘ／ｌｏｇｘ）

とも書くことができる．

　素数定理はπ（ｘ）の初項だけを求めた定理であるといえるのであるが，自然な流れとして，π（ｘ）の第２項は何かという問題がおこってくる．誤差項

　　Ｏ（ｘ／ｌｏｇｘ）

において，ｘ→∞のとき，ｌｏｇｘはｘに較べて十分小さいのでこれを無視して「ほぼｘの１乗に等しい」と考えることができる．

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　素数定理は，ガウス以降，多くの数学者たちが証明できなかった難問であったが，ガウスの予想から約１００年後の１８９６年，フランスの数学者アダマールとプーサンは同じ年に独立にリーマンによって複素数まで拡張されたゼータ関数を用いてガウスの素数定理を証明した．

　彼らが素数定理を証明したとき，実際に示したのは

　　π（ｘ）＝Ｌｉ（ｘ）＋Ｏ（ｘｅｘｐ（−ｃ(ｌｏｇｘ)^(1/2)））

が成り立つということである．誤差項のｌｏｇｘは無視できるので，ｘの１乗に等しいということになる．

　この誤差項はゼータ関数の零点の非存在に依存していて，ｘ^eと表されるとすると，ゼータ関数の零点の実部の最大値に等しくなることがわかっている．したがって，もしリーマン予想「リーマンのゼータ関数ζ（ｓ）の実部が０と１の間にあり，零点の実部はすべて１／２である（１８５９年）」が正しければ，この近似を

　　π（ｘ）＝Ｌｉ（ｘ）＋Ｏ（ｘ^(1/2)ｌｏｇｘ）

のようにもっとよくすることができるのである（フォン・コッホ，１９０１年）．

　誤差項の評価式

　　｜π（ｘ）−Ｌｉ（ｘ）｜＝Ｏ（ｘ^(1/2)ｌｏｇｘ）

はリーマン予想の通常の述べ方とは違っているが，誤差項を可能な限り精密に記述することはリーマン予想と同値であって，素数に関する未解決問題を解くにはリーマン予想の証明が重要になってくるのである．

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