【３】ｎ^2＋１型素数

　　１^2＋１＝２　　　　　（素数）

　　２^2＋１＝５　　　　　（素数）

　　４^2＋１＝１７　　　　（素数）

　　６^2＋１＝３７　　　　（素数）

　　８^2＋１＝６５　　　　（素数でない）

　１０^2＋１＝１０１　　　（素数）

　ｎ^2＋１型素数は無数にあるでしょうか？　これも無数に存在すると予想されていますが，証明はわかっていません．

　数ｎ＝ｋ^2＋１が素数である確率は，おおよそ

　　１／ｌｏｇｎ・１／√ｎ

したがって，

　　πq（ｘ）〜Ｃ∫(2,x)ｄｔ／（ｌｏｇｔ・√ｔ）〜Ｃ√ｘ／（ｌｏｇｘ）

と予想できます．ハーディとリトルウッドはＣの値も決定しています．

　　Ｃ＝Π（１−χ（ｐ）／（ｐ−１））

　　ｎ^2＋１＝０　（ｍｏｄｐ）→　χ（ｐ）＝１

　　ｎ^2＋１≠０　（ｍｏｄｐ）→　χ（ｐ）＝−１

　　Ｃ＝Π（１−（−１）^(p-1)/2／（ｐ−１））＝１．３７２７・・・

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【４】素数定理の広い一般化（ベートマン・ホーン予想）

　　ｆ1（ｎ）＝ａd1ｎ^d1＋ａd1-1ｎ^d1-1＋・・・＋ａ10

　　・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・

　　ｆr（ｎ）＝ａdrｎ^dr＋ａdr-1ｎ^dr-1＋・・・＋ａr0

　　ｆ＝ｆ1・ｆ2・・・ｆr

の場合の素数定理は

　　πf（ｘ）〜１／（ｄ1・・・ｄr）Ｃ∫(2,x)ｄｔ／（ｌｏｇｔ）^r

と予想されています．

　　ｒ＝１，ｆ（ｎ）＝ｎ→素数定理

　　ｒ＝１，ｆ（ｎ）＝ａｎ＋ｂ→算術級数型素数定理（ディリクレの定理）

　　ｒ＝１，ｆ（ｎ）＝ｎ^2＋１→ｎ^2＋１型素数定理

　　ｒ＝２，ｆ1（ｎ）＝ｎ，ｆ2（ｎ）＝ｎ＋２→双子素数定理

に他ならず，いずれもベートマン・ホーン予想の特別な場合となっています．

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