ところで，双子素数（ｐ，ｐ＋２）は，最初の双子素数（３，５）を除き（６ｎ−１，６ｎ＋１）で，その間にある数はすべて６の倍数（６ｎ）のように見えます．ｎは素数とは限りません．

（５，７）→６（ｎ＝１）

（１１，１３）→１２（ｎ＝２）

（１７，１９）→１８（ｎ＝３）

（２９，３１）→３０（ｎ＝５）

（４１，４３）→４２（ｎ＝７）

（５９，６１）→６０（ｎ＝１０）

（７１，７３）→７２（ｎ＝１２）

ｐが６ｎ―１型素数であることを証明してみましょう．

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（証明）

ｐ＝１（ｍｏｄ３）のとき，ｐ＋２＝０　　（ｍｏｄ３）

ｐ＝２（ｍｏｄ３）のとき，ｐ＋２＝１　　（ｍｏｄ３）

→ｐは３ｎ＋２型素数でなければならない．

また，ｐは奇数（２ｎ＋１）型であるから，ｐは６ｎ−１型素数であることがわかる．

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さらに，よりよい評価を与えてみます．

ｐ＝１（ｍｏｄ５）のとき，ｐ＋２＝３　　（ｍｏｄ５）

ｐ＝２（ｍｏｄ５）のとき，ｐ＋２＝４　　（ｍｏｄ５）

ｐ＝３（ｍｏｄ５）のとき，ｐ＋２＝０　　（ｍｏｄ５）

ｐ＝４（ｍｏｄ５）のとき，ｐ＋２＝１　　（ｍｏｄ５）

→ｐは５ｎ＋１型素数または５ｎ＋２型素数または５ｎ＋４型素数でなければならない．

［１］（２ｎ＋１，３ｎ＋２，５ｎ＋１）の場合，連立合同式

　　ｘ＝１　　（ｍｏｄ２）

　　ｘ＝２　　（ｍｏｄ３）

　　ｘ＝１　　（ｍｏｄ５）

ｘ＝ｘ1＋２ｘ2＋６ｘ3とおいて，最初の式に代入する．→ｘ1＋２ｘ2＋６ｘ3＝ｘ1＝１　　（ｍｏｄ３）→ｘ1＝１がこの合同式の解である．

→ｘ＝１＋２ｘ2＋６ｘ3を２番目の式に代入する．→１＋２ｘ2＋６ｘ3＝１＋２ｘ2＝２　　（ｍｏｄ３）→２ｘ2＝１　　（ｍｏｄ３）→ｘ2＝２がこの合同式の解である．

→ｘ＝５＋６ｘ3を３番目の式に代入する．→５＋６ｘ3＝１　　（ｍｏｄ５）→６ｘ3＝−４　　（ｍｏｄ５）→ｘ3＝１がこの合同式の解である．

　ｘ＝１１となるので，中国剰余定理より連立合同式の解は

　　ｘ＝１１　　（ｍｏｄ３０）

である．

［２］（２ｎ＋１，３ｎ＋２，５ｎ＋２）の場合，連立合同式

　　ｘ＝１　　（ｍｏｄ２）

　　ｘ＝２　　（ｍｏｄ３）

　　ｘ＝２　　（ｍｏｄ５）

ｘ＝ｘ1＋２ｘ2＋６ｘ3とおいて，最初の式に代入する．→ｘ1＋２ｘ2＋６ｘ3＝ｘ1＝１　　（ｍｏｄ３）→ｘ1＝１がこの合同式の解である．

→ｘ＝１＋２ｘ2＋６ｘ3を２番目の式に代入する．→１＋２ｘ2＋６ｘ3＝１＋２ｘ2＝２　　（ｍｏｄ３）→２ｘ2＝１　　（ｍｏｄ３）→ｘ2＝２がこの合同式の解である．

→ｘ＝５＋６ｘ3を３番目の式に代入する．→５＋６ｘ3＝２　　（ｍｏｄ５）→６ｘ3＝−３　　（ｍｏｄ５）→ｘ3＝２がこの合同式の解である．

　ｘ＝１７となるので，中国剰余定理より連立合同式の解は

　　ｘ＝１７　　（ｍｏｄ３０）

である．

［３］（２ｎ＋１，３ｎ＋２，５ｎ＋４）の場合，連立合同式

　　ｘ＝１　　（ｍｏｄ２）

　　ｘ＝２　　（ｍｏｄ３）

　　ｘ＝２　　（ｍｏｄ５）

ｘ＝ｘ1＋２ｘ2＋６ｘ3とおいて，最初の式に代入する．→ｘ1＋２ｘ2＋６ｘ3＝ｘ1＝１　　（ｍｏｄ３）→ｘ1＝１がこの合同式の解である．

→ｘ＝１＋２ｘ2＋６ｘ3を２番目の式に代入する．→１＋２ｘ2＋６ｘ3＝１＋２ｘ2＝２　　（ｍｏｄ３）→２ｘ2＝１　　（ｍｏｄ３）→ｘ2＝２がこの合同式の解である．

→ｘ＝５＋６ｘ3を３番目の式に代入する．→５＋６ｘ3＝４　　（ｍｏｄ５）→６ｘ3＝−１　　（ｍｏｄ５）→ｘ3＝４がこの合同式の解である．

　ｘ＝２９となるので，中国剰余定理より連立合同式の解は

　　ｘ＝２９　　（ｍｏｄ３０）

である．

ｍｏｄ３，ｍｏｄ５で考えた結果，ｐが11以上の双子素数（ｐ，ｐ＋２）について，ｐは３０ｎ＋１１型素数または３０ｎ＋１７型素数または３０ｎ＋２９型素数でなければならないことがわかります．

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