【１】エリオット・ハルバーシュタム予想

　任意の正の整数ｑとｑと互いに素なａに対して

　　ｘ＝ａ　　（ｍｏｄ　ｑ）

となる，ｘ以下の素数の数をπ（ｘ，ｑ，ａ）とする．

　π（ｘ，ｑ，ａ）はπ（ｘ）／φ（ｑ）におおよそ等しい（φ（ｑ）は１からｑ−１までの整数のうち，ｑと公約数をもたないものの個数）．その最大誤差

　　Ｅ（ｘ，ｑ）＝ｍａｘ｛π（ｘ，ｑ，ａ）−π（ｘ）／φ（ｑ）｝

に対して，

　　ΣＥ（ｘ，ｑ）≦Ｃ／ｌｏｇｘ

となる定数Ｃが存在する．

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【２】双子素数予想

　２０１３年の５月にニューハンプシャー大学の数学者ツァンが，差が７千万以下の異なる素数の組が無限個存在するという証明をして，数学者たちを驚かせた．

　「７千万」を「２」に変更できれば双子素数予想の解決になるというわけであるが，画期的な報告はいってもまだまだ遠い・・・．とはいえ，ある一定の数だけ離れた素数のペアが存在するという報告はこれが初めてであった．

　同年，メイナードは「７千万」を「６００」まで下げた．さらにメイナードは「２７０」まで下げたのであるが，エリオット・ハルバーシュタム予想が正しければ１２まで下げられるという．

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