■ランダウの第2問題(その27)

その差が2であるような素数のペア(p,p+2)を双子素数と呼びます.100までの双子素数は(3,5),(5,7),(11,13),(17,19),(29,31),(41,43),(59,61),(71,73)の8組. 100から200までの双子素数は(101,103),(107,109),(137,139),(149,151),(179,181),(191,193),(197,199)の7組.ちょっと大きなものでは(22271,22273),・・・などがあります.

双子素数が無限に多く存在するかどうかはいまのところわかっていません.双子素数の場合に難しいのは素数全体のときと異なって,双子素数の逆数の和

1/3+1/5+1/5+1/7+1/11+1/13+1/17+1/19+・・・+1/p+1/(p+2)+・・・

が無限大とはならずに,その和が1.90195・・・(ブルンの定数:1919年)となることが証明されている点です.このことは,双子素数が無限にあるとしても,まれにしか存在しないことを示しています.そのため,双子素数が無限に存在することの有力な証拠は見つかっているにもかかわらず,完全な証明には至っていないのです.

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ブルンの定数は双子素数が無限にあるという証明にはなりませんが、

もし、この数が無理数であることが証明されれば、双子素数は無限にあることになります。

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