■ランダウの第2問題(その12)

 差が2となる連続した素数の組(p,p+2)を双子素数と呼ぶ.100より小さい素数は25個あるが,双子素数は(3,5),(5,7),(11,13),(17,19),(29,31),(41,43),(59,61),(71,73)の8組.

 101から200までの素数は21個あるが,双子素数は(101,103),(107,109),(137,139),(149,151),(179,181),(191,193),(197,199)の7組.

 数が大きくなればなるほど素数,双子素数はありでてこなくなる.

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 素数が無限個あることがわかりましたが,ガウスは,π(x)をx以下の素数の個数とすると,

  π(x)〜x/logx   (x→∞)

が成り立つだろうと予想しました.この予想はリーマンの研究を経て,1896年,フランスの数学者アダマールとプーサンによって証明されました.これを素数定理といいます.

 その差が2であるような素数のペア(p,p+2)を双子素数と呼びます.小さな双子素数には(3,5),(5,7),(11,13),(17,19),・・・など,ちょっと大きなものでは(22271,22273),・・・などがあります.

 双子素数が無限に多く存在するかどうかは今のところわかっていませんが,双子素数の分布に関しては,ハーディとリトルウッドによって,

  πtwin(x)〜Cx/(logx)2

ただし,pを3以上の素数として

  C=2Π(1−1/(p−1)2)=1.3203・・・

と予想されています.この法則は経験的には正しそうであり,双子素数はたぶん無限組あると信じられています.

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