ニューハンプシャー大学の数学者によって，差が７千万以下の異なる素数の組が無限個存在するという報告だそうである．「７千万」を「２」に変更できれば双子素数予想の解決になるというわけであるが，画期的な報告はいってもまだまだ遠い・・・．

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　ところで，双子素数の逆数の和

１／３＋１／５＋１／５＋１／７＋１／１１＋１／１３＋１／１７＋１／１９＋・・・＋１／ｐ＋１／（ｐ＋２）＋・・・

が無限大とはならずに，その和が１．９０１９５・・・（ブルンの定数：１９１９年）となることが証明されている．

　双子素数では逆数和の収束性がいえるが，２^n−１型素数（メルセンヌ素数）が無限個存在するというのはもっともっと遠い．なぜなら，素数でないものも含めて全部いれても

　　Σ１／（２^n-1）＞Σ１／（２^n−１）＞Σ１／（２^n）

ｎ≧２の無限和をとると

　　１＜Σ１／（２^n−１）＜２

となって，急速に収束するから，問題としてももっと難しいのである．

　逆数の和が大きいほうがやさしい．新しく見つかるのはメルセンヌ素数であるにもかかわらず，メルセンヌ素数が無限にあるかどうかは双子素数の場合より数段難しいというわけである．

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