【１】素数定理

　素数はギリシャの数学者ユークリッドは素数が無限に存在することを証明したが，ｘより小さい素数の数π（ｘ）は，おおよそ

　　π（ｘ）〜ｘ／ｌｎｘ

　　π（ｘ）〜∫(2,x)ｄｘ／ｌｎｘ

で表される．

　ここで，被積分関数

　　１／ｌｎｘ

はｘが素数である確率を表している．ｘ＝１０^6近辺の数なら

　　ｌｎ１０^6＝１３．８

すなわち，１４個に１個は素数なのである．

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【２】双子素数予想

　双子素数も無限にあると予想されている．それは当然のことのように思われるが，実はまだ証明されていないのである．双子素数予想は

　　πtwin（ｘ）〜Ｃｘ／（ｌｏｇｘ）^2

あるいは，ｐを３以上の素数として

　　πtwin（ｘ）〜２Π（１−１／（ｐ−１）^2）∫(2,x)ｄｘ／（ｌｏｇｘ）^2

　　πtwin（ｘ）〜１．３２０３∫(2,x)ｄｘ／（ｌｏｇｘ）^2

で表される．

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