■ランダウの第2問題(その3)

  4n+1型素数,4n+3型素数

  5n+1型素数,5n+2型素数,5n+3型素数,5n+4型素数

もっと一般に,1次式

  ax+b型素数

は無限の存在することがわかっています(ディリクレの算術級数定理).

 2次式,たとえば,

  n^2+1型素数,n^2+2型素数

は無数にあるでしょうか? これも無数に存在すると予想されていますが,証明はわかっていません.

 指数式,たとえば, 

  2^n+1型素数(フェルマー素数),2^n+3型素数,2^n−1型素数(メルセンヌ素数)

も無数に存在すると予想されていますが,証明はわかっていません.

 その差が2であるような素数のペア(p,p+2)を双子素数と呼びます.小さな双子素数には(3,5),(5,7),(11,13),(17,19),・・・など,ちょっと大きなものでは(22271,22273),・・・などがあります.双子素数が無限に多く存在するかどうかは今のところわかっていません.

 (p,p+2,p+4)がともに素数となることは,どれかが必ず3で割れてしまうので(3,5,7)以外にはあり得ません.そこで,

 (p,p+2,p+6)がともに素数となるとき,三つ子素数

 (p,p+2,p+6,p+8)がともに素数となるとき,四つ子素数

と呼ぶことにします.これらも無数に存在する(素数の星座)と予想されていますが,証明はわかっていません.

 シンツェル仮説とは,それらをまとめて拡張した予想です.

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【1】シンツェル仮説(シンツェル予想)

 シンツェル仮説とは,以下の問題を含み,それらをまとめて拡張した予想です.

[1]双子素数(n,n+2)は無限個存在する

[2]n^2+1型素数は無限個存在する

[3]an+b型素数は無限個存在する(算術級数の素数定理,ディリクレ,1837年)

[41三つ子素数(n,n+2,n+6)は無限個存在する

[5]n^2+4型素数は無限個存在する

[6]2^n−1型素数,2^n+1型素数は無限個存在する

[7]4以上のどんな偶数も必ず2個の素数の和として表される(ゴールドバッハ予想)

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【2】n^2+2型素数

 nと2n+1がともに素数となる素数よソフィー・ジェルマン素数と呼び,無限個存在するだろうと予想されているが,証明はされていない.それに対して・・・

 2以上の自然数に対して,nとn^2+2がともに素数となるのは,n=3の場合に限る.

[証] n=0(mod3)のとき,n^2+2=2  (mod3)

    n=1(mod3)のとき,n^2+2=0  (mod3)

    n=2(mod3)のとき,n^2+2=0  (mod3)

したがって,n^2+2が素数となるのはn=0(mod3)のときに限る.→nが素数なのはn=3に限る.

 2以上の自然数に対して,nとn^2+1がともに素数となるのは,無限個存在するだろうと思われる.

    n=0(mod3)のとき,n^2+1=1  (mod3)

    n=1(mod3)のとき,n^2+1=2  (mod3)

    n=2(mod3)のとき,n^2+1=2  (mod3)

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【3】三つ子素数

 (p,p+2,p+4)がともに素数となることは,(3,5,7)以外にはあり得ない.

[証] p=1(mod3)のとき,p+2=0  (mod3)

    p=2(mod3)のとき,p+4=0  (mod3)

どれかが必ず3で割れてしまうので(3,5,7)以外にはあり得ないことになる.

 (p,p+2,p+6)がともに素数となるとき,三つ子素数と定義すると

p=1(mod3)のとき,p+2=0  (mod3)

             p+6=1  (mod3)

p=2(mod3)のとき,p+2=1  (mod3)

             p+6=2  (mod3)

→pは3n+2型素数でなければならない.

 (p,p+4,p+6)がともに素数となるとき,三つ子素数と定義した場合も同じだろうか?

p=1(mod3)のとき,p+4=2  (mod3)

             p+6=1  (mod3)

p=2(mod3)のとき,p+4=0  (mod3)

             p+6=2  (mod3)

→pは3n+1型素数でなければならない.

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【4】四つ子素数

 (p,p+2,p+6,p+8)について,mod3,mod5で考える.

p=1(mod3)のとき,p+2=2  (mod3)

             p+6=1  (mod3)

             p+8=0  (mod3)

p=2(mod3)のとき,p+2=1  (mod3)

             p+6=2  (mod3)

             p+8=1  (mod3)

→pは3n+2型素数でなければならない.

p=1(mod5)のとき,p+2=3  (mod5)

             p+6=2  (mod5)

             p+8=4  (mod5)

p=2(mod5)のとき,p+2=4  (mod5)

             p+6=3  (mod5)

             p+8=0  (mod5)

p=3(mod5)のとき,p+2=0  (mod5)

             p+6=4  (mod5)

             p+8=1  (mod5)

p=4(mod5)のとき,p+2=1  (mod5)

             p+6=0  (mod5)

             p+8=2  (mod5)

→pは5n+1型素数でなければならない.

 実は,pは30n+11型素数でなければならないことがわかっている.

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