５５より大きい数は，４ｎ＋３型素数の和で表される．１６１より大きい数は，６ｎ−１型の異なる素数の和で表される．２０５より大きい数は，６ｎ＋１型の異なる素数の和で表される．それに対して，４以上のどんな偶数も必ず２個の素数の和として表される（ゴールドバッハ予想）

　ゴールドバッハ予想は２つの異なる予想に分けられる．

［１］偶数ゴールドバッハ予想

　　２より大きいすべての偶数は２つの素数の和である．

［２］奇数ゴールドバッハ予想

　　５より大きいすべての奇数は３つの素数の和である．

　［１］から［２］が導き出せるが，［２］→［１］は成り立たない．偶数ゴールドバッハ予想に関して，陳景潤は１９７３年に，十分大きな偶数は２つの素数の和で表せるか，素数と半素数（２つの素数の積）の和で表せるかのいずれかであることを証明した．強弱どちらの予想もいまだ解決されていなかったのであるが，・・・

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［Ｑ］８以上の偶数は２個の奇素数の和で書けるか？

［Ｑ］５より大きい整数は２個の素数の和で書けるか？

は未解決の難問として有名である．

［Ｑ］７より大きい奇数は３個の素数の和で書けるか？

はゴールドバッハ予想の弱い形（弱予想）というものであるが，２０１３年，ペルーの数学者ヘルフゴットにより証明された．

ゴールドバッハ自身はもともとオイラーへの手紙に以下の予想＝強ゴールドバッハ予想の言いかえ

　　6以上の整数はすべて３つの素数の和である．

を記しています。６以上の整数を7以上の奇数と条件を弱めたので、弱ゴールドバッハ予想と呼ばれています

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