■ランダウの第1問題(その4)

 55より大きい数は,4n+3型素数の和で表される.161より大きい数は,6n−1型の異なる素数の和で表される.205より大きい数は,6n+1型の異なる素数の和で表される.それに対して,4以上のどんな偶数も必ず2個の素数の和として表される(ゴールドバッハ予想)

 ところで,ゴールドバッハ予想は2つの異なる予想に分けられる.

[1]偶数ゴールドバッハ予想

  2より大きいすべての偶数は2つの素数の和である.

[2]奇数ゴールドバッハ予想

  5より大きいすべての奇数は3つの素数の和である.

 [1]から[2]が導き出せるが,[2]→[1]は成り立たない.

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【1】シュニレルマンの定理(1930年)

 1より大きいすべての整数は最大c個の素数の和であるような定数cが存在する.(この数はシュニレルマンの定数と呼ばれる)

 奇数ゴールドバッハ予想はc=4,偶数ゴールドバッハ予想はc=3というわけである.

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【2】ラマーレの定理(1995年)

 すべての偶数は最大6つの素数の和である.(c=7)

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【3】タオの定理(2012年):査読中

 すべての奇数は最大5つの素数の和である.(c=6)

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