■ランダウの第4問題(その7)

ディリクレの算術級数定理は整数の線形数列は無限に多くの素数を含むという定理である。

それでは、線形よりも速く増大する数列は無限に多くの素数を含むだろうか?

まず2次の数列の場合を問うてみよう。

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  1^2+1=2     (素数)

  2^2+1=5     (素数)

  4^2+1=17    (素数)

  6^2+1=37    (素数)

  8^2+1=65    (素数でない)

 10^2+1=101   (素数)

 n^2+1型素数は無数にあるでしょうか? これも無数に存在すると予想されていますが,証明はわかっていません.

 数n=k^2+1が素数である確率は,おおよそ

  1/logn・1/√n

したがって,

  πq(x)〜C∫(2,x)dt/(logt・√t)〜C√x/(logx)

と予想できます.ハーディとリトルウッドはCの値も決定しています.

  C=Π(1−χ(p)/(p−1))

  n^2+1=0 (modp)→ χ(p)=1

  n^2+1≠0 (modp)→ χ(p)=−1

  C=Π(1−(−1)^(p-1)/2/(p−1))=1.3727・・・

 一般に,2次式,たとえば,

  n^2+1型素数,n^2+2型素数

は無数にあるでしょうか? これも無数に存在すると予想されていますが,証明はわかっていません.

この形の素数で素因数がたかだか2個のものは無限にあるというのが、現在、最も良い結果である。

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