ディリクレの算術級数定理は整数の線形数列は無限に多くの素数を含むという定理である。

それでは、線形よりも速く増大する数列は無限に多くの素数を含むだろうか？

まず２次の数列の場合を問うてみよう。

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

　　１^2＋１＝２　　　　　（素数）

　　２^2＋１＝５　　　　　（素数）

　　４^2＋１＝１７　　　　（素数）

　　６^2＋１＝３７　　　　（素数）

　　８^2＋１＝６５　　　　（素数でない）

　１０^2＋１＝１０１　　　（素数）

　ｎ^2＋１型素数は無数にあるでしょうか？　これも無数に存在すると予想されていますが，証明はわかっていません．

　数ｎ＝ｋ^2＋１が素数である確率は，おおよそ

　　１／ｌｏｇｎ・１／√ｎ

したがって，

　　πq（ｘ）〜Ｃ∫(2,x)ｄｔ／（ｌｏｇｔ・√ｔ）〜Ｃ√ｘ／（ｌｏｇｘ）

と予想できます．ハーディとリトルウッドはＣの値も決定しています．

　　Ｃ＝Π（１−χ（ｐ）／（ｐ−１））

　　ｎ^2＋１＝０　（ｍｏｄｐ）→　χ（ｐ）＝１

　　ｎ^2＋１≠０　（ｍｏｄｐ）→　χ（ｐ）＝−１

　　Ｃ＝Π（１−（−１）^(p-1)/2／（ｐ−１））＝１．３７２７・・・

　一般に，２次式，たとえば，

　　ｎ^2＋１型素数，ｎ^2＋２型素数

は無数にあるでしょうか？　これも無数に存在すると予想されていますが，証明はわかっていません．

この形の素数で素因数がたかだか２個のものは無限にあるというのが、現在、最も良い結果である。

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝