【５】類数２の世界

　ついでながら，類数２の虚２次体Ｑ（√ｄ）は，

　　−ｄ＝５，６，１０，１３，１５，２２，３５，３７，５１，５８，９１，１１５，１２３，１８７，２３５，２６７，４０３，４２７

の１８個あります．

　１変数の２次多項式ではｎ^2＋ｎ＋４１が高い確率で素数を生成し，それは類数が１となる虚２次体Ｑ（√−１６３）と関係していたわけですが，２ｎ^2＋２９なども高い確率で素数を生成します．

　　２ｘ^2＋２９

は，ｘ＝０，１，・・・，２８において，連続する素数値をとる最適生成多項式の１つであって，類数２をもつ体Ｑ（√−５８）に対応しています．

　一般に，Ｑ（√ｄ）＝Ｑ（√−２ｐ）が類数２をもつためには，

　　２ｘ^2＋ｐ

が０≦ｘ≦ｐ−１において素数値をとることが必要十分であって，そのようなｄ＝−２ｐは

　　ｄ＝−６，−１０，−２２，−５８

で与えられます．類数２の虚２次体と関係した最適素数生成多項式は，このほかに２つのタイプがあることが知られています．

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【６】２ｘ^2＋２９　（０≦ｘ≦２８）

ｘ＝0：29 x=10:229 x=20:829

ｘ＝1：31 x=11:271 x=21:911

ｘ＝2：37 x=12:317 x=22:997

ｘ＝3：47 x=13:367 x=23:1089

ｘ＝4：61 x=14:421 x=24:1181

ｘ＝5：79 x=15:479 x=25:1279

ｘ＝6：101 x=16:541 x=26:1381

ｘ＝7：127 x=17:607 x=27:1487

ｘ＝8：157 x=18:677 x=28:1597

ｘ＝9：191 x=19:751 x=29:1711=29・59

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