【５】類数２の世界

　ついでながら，類数２の虚２次体Ｑ（√ｄ）は，

　　−ｄ＝５，６，１０，１３，１５，２２，３５，３７，５１，５８，９１，１１５，１２３，１８７，２３５，２６７，４０３，４２７

の１８個あります．

　１変数の２次多項式ではｎ^2＋ｎ＋４１が高い確率で素数を生成し，それは類数が１となる虚２次体Ｑ（√−１６３）と関係していたわけですが，２ｎ^2＋２９なども高い確率で素数を生成します．

　　２ｘ^2＋２９

は，ｘ＝０，１，・・・，２８において，連続する素数値をとる最適生成多項式の１つであって，類数２をもつ体Ｑ（√−５８）に対応しています．

　一般に，Ｑ（√ｄ）＝Ｑ（√−２ｐ）が類数２をもつためには，

　　２ｘ^2＋ｐ

が０≦ｘ≦ｐ−１において素数値をとることが必要十分であって，そのようなｄ＝−２ｐは

　　ｄ＝−６，−１０，−２２，−５８

で与えられます．類数２の虚２次体と関係した最適素数生成多項式は，このほかに２つのタイプがあることが知られています．

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