素数だけを与える１変数多項式は，存在しないことが証明されている．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

　１変数多項式をｆ（ｎ）＝ａ＋ｂｎ＋ｃｎ^2＋・・・とする．

　ｆ（１）＝ｐ　　（素数）とすると，

　ｆ（１＋ｐ・ｋ）＝ａ＋ｂ（１＋ｐ・ｋ）＋ｃ（１＋ｐ・ｋ）2＋・・・

＝ｆ（１）＋ｐ・ｇ（ｋ）＋ｐ^2・ｈ（ｋ）＋・・・

＝ｆ（１）＋ｐ・Ｇ（ｋ）

＝ｐ（１＋Ｇ（ｋ））

となって，ｐはｆ（１＋ｐ・ｋ）を割り切ることになるからである．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

１９７１年，旧ソ連のマチアセビッチは，素数全体をあるひとつのディオファントス方程式の解として表すことにも成功しています．すなわち，すべての素数をつくる式を生み出したことになるのですが，その式は３７次で２４個の変数をもつ多項式と２１次で２１個の変数をもつ多項式でした．これらの多項式は負の値もとり，また，素数は多項式の値として繰り返し出現します．

　すべての素数をもれなくつくり，しかも素数以外はつくらない公式は知られていません．素数を完全に定義する式が存在することは証明されていませんし，存在しないともわかっていません．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝