４ｎ＋１型素数，４ｎ＋３型素数

　　５ｎ＋１型素数，５ｎ＋２型素数，５ｎ＋３型素数，５ｎ＋４型素数

もっと一般に，１次式

　　ａｘ＋ｂ型素数

は無限の存在することがわかっています（ディリクレの算術級数定理）．

　２次式，たとえば，

　　ｎ^2＋１型素数，ｎ^2＋２型素数

は無数にあるでしょうか？　これも無数に存在すると予想されていますが，証明はわかっていません．

　指数式，たとえば，　

　　２^n＋１型素数（フェルマー素数），２^n＋３型素数，２^n−１型素数（メルセンヌ素数）

も無数に存在すると予想されていますが，証明はわかっていません．

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【２】ｎ^2＋２型素数

　ｎと２ｎ＋１がともに素数となる素数よソフィー・ジェルマン素数と呼び，無限個存在するだろうと予想されているが，証明はされていない．それに対して・・・

　２以上の自然数に対して，ｎとｎ^2＋２がともに素数となるのは，ｎ＝３の場合に限る．

［証］　ｎ＝０（ｍｏｄ３）のとき，ｎ^2＋２＝２　　（ｍｏｄ３）

　　　　ｎ＝１（ｍｏｄ３）のとき，ｎ^2＋２＝０　　（ｍｏｄ３）

　　　　ｎ＝２（ｍｏｄ３）のとき，ｎ^2＋２＝０　　（ｍｏｄ３）

したがって，ｎ^2＋２が素数となるのはｎ＝０（ｍｏｄ３）のときに限る．→ｎが素数なのはｎ＝３に限る．

　２以上の自然数に対して，ｎとｎ^2＋１がともに素数となるのは，無限個存在するだろうと思われる．

　　　　ｎ＝０（ｍｏｄ３）のとき，ｎ^2＋１＝１　　（ｍｏｄ３）

　　　　ｎ＝１（ｍｏｄ３）のとき，ｎ^2＋１＝２　　（ｍｏｄ３）

　　　　ｎ＝２（ｍｏｄ３）のとき，ｎ^2＋１＝２　　（ｍｏｄ３）

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