ａ，ｂを整数として

　　ａ＋ｂｉ

で表される複素数が「ガウスの整数」である．ガウスの整数は和と積の演算に関して閉じている．

　また，すべてのガウス整数を約す整数が「単数」で，

　　±１，±ｉ

の４個の単数がある．ガウスの数体では（単数を除いて）素因数分解の一意性が成立する．

　それに対して，Ｑ（√−５）では

　　６＝２・３＝（１＋√−５）（１−√−５）

のように，素数の積に２通りに表されるような状況を生じてしまうのである．（２，３は素数であるし，１＋√−５，１−√−５はいずれも

　　ａ＋ｂ√−５

のなかには±１と±それ自身以外の約数をもたないので「素数」である．）

　それでは，どういう負の数−ｄを使った数体系Ｑ（√−ｄ）で，素因数分解は一意となるのであろうか？

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【１】ベイカー・スタークの定理

　この答えは既に知られていて，次の９つの虚２次体Ｑ（√ｄ）

　　−ｄ＝１，２，３，７，１１，１９，４３，６７，１６３

に限られるというものです．このコラムをご覧の読者であれば，最初の２つ以外では半整数ａ，ｂを使って，ａ＋ｂ√−ｄを作る必要があることはおわかりでしょう（＝１（ｍｏｄ４））．

　ずいぶん以前からこの９個の数は知られていたのですが，１０番目の数が存在するかもしれない・・・というまどろっこしい状態が続いていました．この１０番目の数が実際に存在するかどうかを解明するために長い歳月が費やされました．

　その経緯について触れておきたいのですが，１９３２年，ハイルブロンとリンフットが１０番目のｄがあるとすれば，それは１０^11よりも大きくなることを示しました．また，１９５２年，ヘーグナーが９個ですべてだという証明を発表しましたが，彼は高校の教師であり研究者として部外者であったため，この証明は懐疑的に受け取られていたようです．

　そして，１９６６年，アメリカのスタークとイギリスのベイカーが独立に世界中を納得させる証明を与えました．それは不正確であるとして無視されたヘーグナーの証明の誤りを払拭するものでもありました．また，１９６８年，ドイリングはヘーグナーの証明を修正することに成功しましたが，既にそのときはベイカー，スタークに先を越されていて遅きに失した状況にありました．

［補］１９５２年，ヘーグナーは１世紀以上も未解決だったガウスによる予想を証明しているのですが，その証明を標準的な手法で書かなかったため，長らく間違ったものとみなされていました．ところが，１９６６年，ベーカーとスタークがこの問題を解いたのを契機に，ヘーグナーの証明がはじめて注意深く吟味され，その証明が本質的には正しいことが明らかになりました．これでヘーグナーに対する批評が公正でないことが明らかになったのですが，残念ながら，ヘーグナーは１９６５年に亡くなっており，自らの名誉回復をその目で見ることはできませんでした．彼の研究が正しく理解される前にこの世を去ったのであるが、現在，９個の数

　　−ｄ＝１，２，３，７，１１，１９，４３，６７，１６３

はヘーグナー数と呼ばれています．

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