■素数の分解(その55)

【1】アイゼンシュタインの整数環(1)

アイゼンスタインの整数

Z[ω]={m+nω|m,nは整数},ω=(−1+√−3)/2

には,6つの単数

  ±1,±ω,±ω^2 があり,正六角形の対称性をもつ三角格子をなします.単数を除いて,素因数分解の一意性が成立します.

2と6k+5型素数はZ[ω]においても素数ですが,3と6k+1型の素数はZで因数分解できます.

  3=(1−ω)(1−ω^2)=(1+ω)(1−ω)^2=(1−ω)(2+ω)

  7=(2−ω)(2−ω^2)

  13=(3−ω)(3−ω^2)

  19=(3−2ω)(3−2ω^2)

  37=(4−3ω)(4−3ω^2)=(4−3ω)(7+3ω)

  1729=7・13・19

===================================