■素数の分解(その53)

【3】ガウスの整数環(1)

ガウスの整数

Z[i]={m+ni|m,nは整数}

には,±1,±iの4個の単数があります.ガウス整数は正方形の対称性をもつ正方格子をなします.単数を除いて,素因数分解の一意性が成立します.4k+3型素数はZにおいても素数ですが,2と4k+1型の素数はZで因数分解できます.4で割って1余る素数は,複素数(ガウスの整数環)に範囲を広げると素数であり続けることはできず,分解されてしまうのです.

  2=(1+i)(1−i)=i(1−i)^2

  5=(2+i)(2−i)

  13=(2+3i)(2−3i)

  17=(4+i)(4−i)

29=(5+2i)(5−2i)

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2および4k+1型素数はガウス素数の積に分解されます.4k+1型の素数は

  p=a^2+b^2=(a+bi)(a−bi)

と分解されるので素数ではなくなるというわけです.

また,1+2iや1−2iはガウス素数です.たとえば,1+2iが

  1+2i=(a+bi)(c+di)

と素数の積に分解できたとすると,両辺に共役複素数

  1−2i=(a−bi)(c−di)

をかけると

  5=(a^2+b^2)(c^2+d^2)

となり,

  (a^2+b^2,c^2+d^2)=(1,5),(5,1)

が成り立たなければなりませんが,このうち一方は単数になってしまいます.

 このとき,

  5=(2+i)(2−i)

のような素因数分解ができるので,素因数分解が一意ではないという疑問を生じますが,実は

  2+i=i(1−2i),2−i=i(1+2i)

のように単数だけの違いになってしまいます.このような理由から1+2iや1−2iはガウス素数といえるのです.

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一方,4k+3型素数はやはりガウス素数です.たとえば3が

  3=(a+bi)(c+di)

と素数の積に分解できたとすると,両辺に共役複素数

  3=(a−bi)(c−di)

をかけると

  9=(a^2+b^2)(c^2+d^2)

となり,

  (a^2+b^2,c^2+d^2)=(3,3),(1,9),(9,1)

が成り立たなければなりません.しかし,(3,3)を満たす整数は存在しませんし,(1,9),(9,1)では一方が単数となってしまいますから,3は素数といえるわけです.

(証)一般に,4n+3型素数pはガウス素数であることを示しておきたい.

  p=(a+bi)(c+di)

とガウス素数の積に分解されるとすると

  N(a+bi)N(c+di)=p^2

であるから,

  N(a+bi)=N(c+di)=p

  a^2+b^2=p=3  (mod4)

でなければならない.

 しかし,(奇数)^2=1,(偶数)^2=0  (mod4)であるから

  a^2+b^2=0,1,2  (mod4)

pを素数として,p=x^2+y^2を満たす整数x,yが存在するための必要十分条件は

  p=1(mod4)またはp=2

であって,素数pが2または4n+1型素数のときに限り,

  p=x^2+y^2=(x+yi)(x−yi)

ガウス整数として因数分解できるのである.

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