【３】ガウスの整数環（１）

ガウスの整数

Ｚ［ｉ］＝｛ｍ＋ｎｉ｜ｍ，ｎは整数｝

には，±１，±ｉの４個の単数があります．ガウス整数は正方形の対称性をもつ正方格子をなします．単数を除いて，素因数分解の一意性が成立します．４ｋ＋３型素数はＺにおいても素数ですがが，２と４ｋ＋１型の素数はＺで因数分解できます．

　　２＝（１＋ｉ）（１−ｉ）＝ｉ（１−ｉ）^2

　　５＝（２＋ｉ）（２−ｉ）

　　１３＝（２＋３ｉ）（２−３ｉ）

　　１７＝（４＋ｉ）（４−ｉ）

２９＝（５＋２ｉ）（５−２ｉ）

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【４】ガウスの整数環（２）

ガウスの素数とは，ノルムｍ^2＋ｎ^2が１よりも大きいガウスの整数Ｚ［ｉ］のなかで，そのノルムよりも小さいノルムをもつガウスの整数の積として表されないものです．逆にいうと，ガウスの整数は必ずガウスの素数によって因数分解されます．ガウスの素数による因数分解では・・・

［１］最小の例は２＝（１＋ｉ）（１−ｉ）である．

　　｜１＋ｉ｜^2＝２，｜１−ｉ｜^2＝２，｜２｜^2＝４

［２］２個の平方数の和として表される通常の4Ｎ+1型素数は２個のガウス素数の積である．

　　３７＝（６＋ｉ）（６−ｉ）

　　｜６＋ｉ｜^2＝３７，｜６−ｉ｜^2＝３７，｜３７｜^2＝３７^2

［３］通常の素因数からガウスの素因数を見つけることができる．

　　｜３＋ｉ｜^2＝１０＝２・５

　　ノルムが２のガウス素数は（１＋ｉ），（１−ｉ）

　　ノルムが５のガウス素数は（２＋ｉ），（２−ｉ）→なせなら和が５になる平方数の組み合わせは４と１の組み合わせに限られる．

　　３＋ｉ＝（１＋ｉ）（２−ｉ）

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【５】ガウスの整数環（３）

　通常の整数の除法では

　　ａ＝ｑｂ＋ｒ，｜ｒ｜＜｜ｂ｜

とすることができますが，ガウスの整数に対しても同様のことを考えてみます．

　　ａ＝５＋３ｉ，｜ａ｜^2＝３４

　　ｂ＝３＋ｉ，｜ｂ｜^2＝１０

　　５＋３ｉ＝（３＋ｉ）ｑ＋ｒ，｜ｒ｜^2＜１０

　　ｒ＝５＋３ｉ−（３＋ｉ）ｑ＝（５−３ｑ）＋（３−ｑ）ｉ

　　（５−３ｑ）^2＋（３−ｑ）^2＜１０

　　１０ｑ^2−３６ｑ＋３４＜１０

　　ｑ＝２のとき４０−７２＋３４＝２＜１０

とするのではｑを通常の整数とみなしているが，ｑもガウスの整数であるので，ＮＧ．

（３＋ｉ）をひとつの格子点とし，辺の長さ｜３＋ｉ｜の正方格子点

　　０，３＋ｉ，２（３＋ｉ），・・・

　　ｉ（３＋ｉ），（１＋ｉ）（３＋ｉ），（２＋ｉ）（３＋ｉ）

から５＋３ｉに最も近い格子点を選ばなければならない．それは２（３＋ｉ）であって，｜ｒ｜＜｜ｂ｜が成り立つ．

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【６】クラインの整数環

ガウス整数とアイゼンスタイン整数はユークリッド整域であることがわかりましたが，それに続いて最も簡単な整数環はクラインの整数環

　Ｚ（λ）＝｛ａ＋ｂλ｜ａ，ｂは整数｝，λ＝（−１＋√−７）／２

です．クライン整数は２つの単数±１のみをもち，菱形格子をなします．クライン環では２が素因数分解されます．

　　２＝（−１＋√−７）／２・（−１−√−７）／２

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