どういう負の数−ｄを使った数体系Ｑ（√−ｄ）で，素因数分解は一意となるのでしょうか？

　この答えは既に知られていて，次の９つの虚２次体Ｑ（√ｄ）

　　−ｄ＝１，２，３，７，１１，１９，４３，６７，１６３

に限られるというものです．このコラムをご覧の読者であれば，最初の２つ以外では半整数ａ，ｂを使って，ａ＋ｂ√−ｄを作る必要があることはおわかりでしょう（＝１（ｍｏｄ４））．

　解説によっては，一意分解性をもつ虚２次体は９個のみで，その判別式は

　　Ｄ＝３，４，７，８，１１，１９，４３，６７，１６３

に限られるとも説明されています．その場合，アイゼンスタインの整数は判別式３，ガウスの整数は判別式４，クラインの整数は判別式７に相当します．

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［５］円分体の整数

　代数的整数環｛ａ＋ｂθ，ｓ，ｂは整数｝

あるいは，

　円分体の整数環Ｚ（ζ），ζ＝ｘｅｘｐ（２πｉ／ｍ）

を考えると，

　　θ＝√−２，√−５，（−１＋√−７）／２，（−１＋√−１１）／２，（１＋√５）／２　　

なども用いられているようです．

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