【３】ガウスの整数環

　通常の整数の除法では

　　ａ＝ｑｂ＋ｒ，｜ｒ｜＜｜ｂ｜

とすることができますが，ガウスの整数に対しても同様のことを考えてみます．

　　ａ＝５＋３ｉ，｜ａ｜^2＝３４

　　ｂ＝３＋ｉ，｜ｂ｜^2＝１０

　　５＋３ｉ＝（３＋ｉ）ｑ＋ｒ，｜ｒ｜^2＜１０

　　ｒ＝５＋３ｉ−（３＋ｉ）ｑ＝（５−３ｑ）＋（３−ｑ）ｉ

　　（５−３ｑ）^2＋（３−ｑ）^2＜１０

　　１０ｑ^2−３６ｑ＋３４＜１０

　　ｑ＝２のとき４０−７２＋３４＝２＜１０

とするのではｑを通常の整数とみなしているが，ｑもガウスの整数であるので，ＮＧ．

（３＋ｉ）をひとつの格子点とし，辺の長さ｜３＋ｉ｜の正方格子点

　　０，３＋ｉ，２（３＋ｉ），・・・

　　ｉ（３＋ｉ），（１＋ｉ）（３＋ｉ），（２＋ｉ）（３＋ｉ）

から５＋３ｉに最も近い格子点を選ばなければならない．それは２（３＋ｉ）であって，｜ｒ｜＜｜ｂ｜が成り立つ．

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