【２】ガウスの整数環

ガウスの素数とは，ノルムｍ^2＋ｎ^2が１よりも大きいガウスの整数Ｚ［ｉ］のなかで，そのノルムよりも小さいノルムをもつガウスの整数の積として表されないものです．逆にいうと，ガウスの整数は必ずガウスの素数によって因数分解されます．ガウスの素数による因数分解では・・・

［１］最小の例は２＝（１＋ｉ）（１−ｉ）である．

　　｜１＋ｉ｜^2＝２，｜１−ｉ｜^2＝２，｜２｜^2＝４

［２］２個の平方数の和として表される通常の4Ｎ+1型素数は２個のガウス素数の積である．

　　３７＝（６＋ｉ）（６−ｉ）

　　｜６＋ｉ｜^2＝３７，｜６−ｉ｜^2＝３７，｜３７｜^2＝３７^2

［３］通常の素因数からガウスの素因数を見つけることができる．

　　｜３＋ｉ｜^2＝１０＝２・５

　　ノルムが２のガウス素数は（１＋ｉ），（１−ｉ）

　　ノルムが５のガウス素数は（２＋ｉ），（２−ｉ）→なせなら和が５になる平方数の組み合わせは４と１の組み合わせに限られる．

　　３＋ｉ＝（１＋ｉ）（２−ｉ）

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