スー・モース数列は整数論のおもしろい問題とも関係している。

整数を２つの集合に分け，それぞれのベキ乗の和が等しくなる等式を探す問題はプルーヘ・タリー・エスコット問題と呼ばれる．

　コラム「２乗和が等しい数列」では

１から８までのすべての数字を含む排他的数列

｛ａn｝＝｛１，４，５，８｝

｛ｂn｝＝｛２，３，６，７｝

　　２^0＋３^0＋５^0＋８^0＝１^0＋４^0＋６^0＋７^0＝４

　　２^1＋３^1＋５^1＋８^1＝１^1＋４^1＋６^1＋７^1＝１８

　　２^2＋３^2＋５^2＋８^2＝１^2＋４^2＋６^2＋７^2＝１０２

１から１６までのすべての数字を含む排他的数列

　｛ａn｝＝｛１，４，６，７，１０，１１，１３，１６｝

　｛ｂn｝＝｛２，３，５，８，９，１２，１４，１５｝

　１＋４＋６＋７＋１０＋１１＋１３＋１６＝２＋３＋５＋８＋９＋１２＋１４＋１５＝６８

　１^2＋４^2＋６^2＋７^2＋１０^2＋１１^2＋１３^2＋１６^2＝２^2＋３^2＋５^2＋８^2＋９^2＋１２^2＋１４^2＋１５^2＝７４８

　１^3＋４^3＋６^3＋７^3＋１０^3＋１１^3＋１３^3＋１６^3＝２^3＋３^3＋５^3＋８^3＋９^3＋１２^3＋１４^3＋１５^3＝９２４８

などを取り上げた．

　これらの具体的なアルゴリズムは，スー・モース数列と関係しているのである．

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｛ａn｝＝｛１，３，５，７｝

｛ｂn｝＝｛２，４，６，８｝

からはじめて，４個ずつ｛｝するとき，

｛ａn｝＝｛２，３，５，８｝

｛ｂn｝＝｛１，４，６，７｝

　　２＋３＋５＋８＝１＋４＋６＋７＝１８

　　２^2＋３^2＋５^2＋８^2＝１^2＋４^2＋６^2＋７^2＝１０２

　結局，両端の２項あるいは中央の２項の入れ替えになっている．これ以外の組み合わせはないだろうか？

　４個ずつ｛｝するとき，｛＋−−＋｝，｛−＋＋−｝の他に

　　｛＋−＋−｝，｛−＋−＋｝

も考えられるが，｛＋−−＋｝，｛−＋＋−｝だけで１から３２までのすべての数字を含む排他的数列では４乗和も等しくなるかどうか調べてみたところ，結論としては

　｛ａn｝＝｛＋−−＋，−＋＋−，−＋＋−，＋−−＋｝

　｛ｂn｝＝｛−＋＋−，＋−−＋，＋−−＋，−＋＋−｝

ということになる．

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任意の整数nに対して、m=0,1,2,・・・,n-1のそれぞれで、

Σ(-1)^tk-1k^m=0が成り立つのである。

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