■素数魔方陣(その36)

 コラム「2乗和が等しい数列」では

1から8までのすべての数字を含む排他的数列

{an}={1,4,5,8}

{bn}={2,3,6,7}

  2^0+3^0+5^0+8^0=1^0+4^0+6^0+7^0=4

  2^1+3^1+5^1+8^1=1^1+4^1+6^1+7^1=18

  2^2+3^2+5^2+8^2=1^2+4^2+6^2+7^2=102

1から16までのすべての数字を含む排他的数列

 {an}={1,4,6,7,10,11,13,16}

 {bn}={2,3,5,8,9,12,14,15}

 1+4+6+7+10+11+13+16=2+3+5+8+9+12+14+15=68

 1^2+4^2+6^2+7^2+10^2+11^2+13^2+16^2=2^2+3^2+5^2+8^2+9^2+12^2+14^2+15^2=748

 1^3+4^3+6^3+7^3+10^3+11^3+13^3+16^3=2^3+3^3+5^3+8^3+9^3+12^3+14^3+15^3=9248

などを取り上げた.

 これらの具体的なアルゴリズムは,スー・モース数列と関係している.

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{an}={1,3,5,7}

{bn}={2,4,6,8}

からはじめて,4個ずつ{}するとき,

{an}={2,3,5,8}

{bn}={1,4,6,7}

  2+3+5+8=1+4+6+7=18

  2^2+3^2+5^2+8^2=1^2+4^2+6^2+7^2=102

 結局,両端の2項あるいは中央の2項の入れ替えになっている.これ以外の組み合わせはないだろうか?

 4個ずつ{}するとき,{+−−+},{−++−}の他に

  {+−+−},{−+−+}

も考えられるが,{+−−+},{−++−}だけで1から32までのすべての数字を含む排他的数列では4乗和も等しくなるかどうか調べてみたところ,結論としては

 {an}={+−−+,−++−,−++−,+−−+}

 {bn}={−++−,+−−+,+−−+,−++−}

ということになる.

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