■素数魔方陣(その22)

 どれくらいの範囲まで,一般性を失うことなく(without loss of generality, wlog)成り立っているのだろうか?

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 {cn}={1,6,7,8,14,15}

 {dn}={2,3,9,10,11,16}

の最小単位は

 {cn}={1,6,7,8}

 {dn}={2,3}

とはできないので

 {cn}={1,6,7,8,14,15}

 {dn}={2,3,9,10,11,16}

となる.ここまでは4乗和まで等しくなる.

 次は

 {cn}={1,6,7,8,14,15}+{18,19,25,26,27,32}

 {dn}={2,3,9,10,11,16}+{17,22,23,24,30,31}

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 2の累乗,たとえば,1から2^4までの間引いた数字を含む排他的数列では4乗和でも,1から2^5までの間引いた数字を含む排他的数列では5乗和でも等しくなる.・・・2^kまでの間引いたすべての数字を含む排他的数列ではk乗和でも等しいと仮定する.

 このとき,r=2^k-1とおくと

  {a1,a2,・・・,ar}

  {b1,b2,・・・,br}

において,Σai=Σbi,Σai^2=Σbi^2,Σai^k=Σbi^kが成り立つ.

  ar+1=2r+b1,・・・,a2r=2r+br

  br+1=2r+a1,・・・,b2r=2r+ar

とおくとき,Σai^k+1=Σbi^k+1が成り立つことを証明できればよい.ただし,ai=0,bi=0のとき,r=0とする.

  Σai^k+1=a1^k+1+・・・+ar^k+1+(2r+b1)^k+1+・・・+(2r+br)^k+1

=a1^k+1+・・・+ar^k+1+b1^k+1+・・・+br^k+1+CΣbi^k+DΣbi^k+・・・+E

  Σbi^k+1=b1^k+1+・・・+br^k+1+(2r+a1)^k+1+・・・+(2r+ar)^k+1

=a1^k+1+・・・+ar^k+1+b1^k+1+・・・+br^k+1+CΣai^k+DΣai^k+・・・+E

 仮定よりΣai^k=Σbi^k.また,これより項数が2の累乗でなければならないこともわかるだろう.

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 {18,19,25,26,27,32}={17,22,23,24,30,31}は当たり前であるから,

 {18,19,25,26,27,32}^2={17,22,23,24,30,31}^2

 {18,19,25,26,27,32}^3={17,22,23,24,30,31}^3

 {18,19,25,26,27,32}^4={17,22,23,24,30,31}^4

を調べてみて合致していることが確認できた.5乗和はオーバーフロー.

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