素数ｐに対して2からｐまでの素数の積を素数階乗とよぶ。

　ｐ＃＝2・3・5・・・ｐ

　５＃＝２・３・５＝３０＝５・６　

　７＃＝２・３・５・７＝２１０＝１４・１５

　１１＃＝２・３・５・７・１１＝２３１０

　１７＃＝２・３・５・７・１１・１３・１７=５１０５１０＝７１４・７１５

　２３＃＝２・３・５・７・１１・１３・１７・１９・２３＝２２３０９２８７０

ｐ＃-１が素数となるｐは,3,5,11,13,41,89,317,337,991,1873,2053,2377,4093,4297,4583,6569などが知られている。

ｐ＃+１が素数となるｐは,2,3,5,7,11,31,379,1019,1021,2657,3229,4547,11549,13649などが知られている。

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素数階乗は素数等差数列の公差に現れる。

長さ３，公差２｛３，５，７｝

長さ４，公差６｛５，１１，１７，２３｝

長さ５，公差６｛５，１１，１７，２３、２９｝

長さ６，公差３０｛７，３７，６７，９７，１２７，１５７｝

長さ７，公差１５０｛７，１５７，３０７，４５７，６０７，７５７、９０７｝

長さ８，公差２１０｛１９９，４０９，６１７，８２９，１０３９，１２４９，１４５９，１６６９｝

長さ９，公差２１０｛１９９，４０９，６１７，８２９，１０３９，１２４９，１４５９，１６６９、１８７９｝

長さ１０，公差２１０｛１９９，４０９，６１７，８２９，１０３９，１２４９，１４５９，１６６９、１８７９、２０８９｝

長さ１１，公差１３８６０ ｛１１０４３７，１２４２９７，１３８１５７，１５２０１７，１６５８１１，１７９７３７，・・・、２３５１７７，２４９０３７｝

長さ１２，公差１３８６０ ｛１１０４３７，１２４２９７，１３８１５７，１５２０１７，１６５８１１，１７９７３７，・・・、２３５１７７，２４９０３７、２６２８９７｝

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長さの大きい素数等差数列としては

長さ２６，公差２３６８１７７０・２３＃、初項４３１４２７４６５９５７１４１９１

長さ２６，公差１６６１４３６５４・２３＃、初項２６０９４７９６１５２５９２９０４９

長さ２６，公差２６７４６０３７１・２３＃、初項３６６２１４５１５６２９４１３３９

長さ２７，公差８１２９２１３９・２３＃、初項２２４５８４６０５９３９５３７９１１

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長さ５，公差６｛５，１１，１７，２３、２９｝

長さ６，公差３０｛７，３７，６７，９７，１２７，１５７｝

公差はいくつでもよいものとして、もっと長い素数等差数列はあるだろうか？

実はどんな長い有限個を考えたとしても、その個数だけ間隔に並ぶ素数は必ず存在する（グリーン・タオの定理）

とはいえ、知られている素数等差数列の長さは最大27である。長さの大きい素数等差数列の実例を見つけることは難しいかもしれないが

それでも存在性だけは保証できるというのである。与えられた素数等差数列の長さは与えられた初項の大きさをを超えることができない

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また、等差性は加法によって定まる概念であり、素数は乗法によって定まる概念であるから、この問題は加法と乗法の絡み合いに関する問いであるととらえることができる

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