■素数の星座予想(その4)

六つ子素数の問題を掲げる.

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[Q3] (p−10,p−6,p−4,p,p+2,p+6)がともに素数となるp(19400≦p≦19599)を求めよ.

 pを7で割った余りをm(1≦m≦6)とする.p=7k+m

p−10=7(k−1)+(m−3)

p−6=7k+(m−6)

p−4=7k+(m−4)

p+2=7(k+1)+(m−5)

p+6=7(k+1)+(m−1)

したがって,m≠3,6,4,5,1→m=2

 ここで,pを7で割った余りを考えたが,同様に

  pを5で割った余りを考えると→m=2

  pを3で割った余りを考えると→m=2

→p−2は3,5,7の公倍数→105の公倍数となる.

→pは奇数なので,p−2=105(2m+1)→p=210m+107

→19400≦p≦19599より,m=92,p=19427

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 最後の部分は中国剰余定理を用いてもよい.

 連立合同式

  x=1  (mod2)

  x=2  (mod3)

  x=2  (mod5)

  x=2  (mod7)

を計算しよう.

x=x1+2x2+6x3+30x4とおいて,最初の式に代入する.→x1+2x2+6x3+30x4=x1=1  (mod2)→x1=1がこの合同式の解である.

→x=1+2x2+6x3+30x4を2番目の式に代入する.→1+2x2+6x3+30x4=1+2x2=2  (mod3)→2x2=1  (mod3)→x2=2がこの合同式の解である.

→x=5+6x3+30x4を3番目の式に代入する.→5+6x3=2  (mod5)→6x3=−3  (mod5)→x3=2がこの合同式の解である.

→x=17+30x4を4番目の式に代入する.→17+30x3=2  (mod5)→30x4=−15  (mod7)→x4=3がこの合同式の解である.

 x=107となるので,中国剰余定理より連立合同式の解は

  x=107  (mod210)

である.

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