■フィボナッチ数列の分布法則(その119)

 最初の10項の和は

 1+1+2+3+5+8+13+21+34+55=143=11・13

は11の倍数ですが,7番目の数13の11倍になっています.

 21から始まる10項の和は

 21+34+55+89+144+233+377+610+987+1597=4147=11・377

は11の倍数ですが,7番目の数377の11倍になっています.

  1+1+2+3+5+・・・+a10=11a7

はともかくとして,一般に

  an+1+・・・+an+10=11an+7

が成り立つだろうか?

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[1]a6までの和を求める.→a8−1

  an+1+an+2+・・・+an+6=an+8−an+2

[2]an+9,an+10をan+7,an+8で表す.

  an+9=an+8+an+7

  an+10=an+9+an+8=2an+8+an+7

[3]an+10までの和を求める.

  an+1+an+2+・・・+an+10=an+8−an+2+an+7+4an+8+2an+7

  a7,a8の式になる.

[4]=11an+7とおくと,5an+8−an+2=8an+7が成り立つことが必要になる.

[5]an+8をan+7+an+6で置き換えると,an+7,an+6の式になる

  5an+7+5an+6−an+2=8an+7→5an+6−an+2=3an+7

[6]辺々を引き算するとan+8−an+6=an+7となり,正しいことが判明する.

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a,b,a+b,a+2b,2a+3b,3a+5b,5a+8b,8a+13b,13a+21b,21a+34b

合計=55a+88b=11(5a+8b)

とするほうが簡単のようです。

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