■フィボナッチ数列の分布法則(その111)

 フィボナッチ数列{Fn}

  1,1,2,3,5,8,13,21,・・・

では,直前の2つの数を足したものがその生成規則となっているが,数列の隣り合う2項の比が黄金比になることはよく知られている.

 項比{Fn/Fn+1}=1/1,1/2,2/3,3/5,5/8,8/13,13/21,・・・→1/φ

 項比{Fn-1/Fn+1}→1/φ^2

 項比{Fn+1/Fn}→1/φ

これらを{fn}で表すと,一般に,fn→αならば,平均値

  {(f1+f2+・・・+fn)/n}→α

が成立する.

 それでは,フィボナッチ数列{Fn}を元にして作った新たな数列{Gn}の第n項までの平方和を(n−1)で割った数列を考えでみよう.

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(1^2+1^2)/1=2

(1^2+1^2+2^2)/2=3

(1^2+1^2+2^2+3^2)/3=5

(1^2+1^2+2^2+3^2+5^2)/4=10

(1^2+1^2+2^2+3^2+5^2+10^2)/5=28

(1^2+1^2+2^2+3^2+5^2+10^2+28^2)/6=154

 数列{Gn}が整数になる理由はまったくないにも関わらず,数列の第48項までは整数になることが知られている.

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