■フィボナッチ数列の分布法則(その106)

 フィボナッチ数列{Fn}は

  F0=0,F1=1

  Fn=Fn-1+Fn-2  (n≧2)

で定義される.

 その一般項は,黄金比

  φ=(1+√5)/2,−1/φ=(1−√5)/2

と使って,

  Fn={φ^n−(−1/φ)^n}/√5

と表すことができる.

[1]ΣFi=Fn+2−1  (i=0〜n)

[2]Σ(Fi)^2=FnFn+1  (i=0〜n)

[3]ΣF2i+1=F2n+2  (i=0〜n)

[4]Fm+n=Fm-1Fn+FmFn+1

[5]Fm+n=Fm+1Fn+1+Fm-1Fn-1

[6](Fn)^2+{Fn+1)^2=F2n+1

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 フィボナッチ数の和について

[1]ΣFi=Fn+2−1  (i=0〜n)

すなわち,

F0+F1+F2+・・・+Fn=Fn+2−1

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