■フィボナッチ数列の分布法則(その87)

フィボナッチは、ピタゴタス数a^2+b^2=c^2をもとめるために

[1]1つは奇数の平方数とする。

[2]もう一つは1からその奇数の平方数までの間の、すべての奇数の和とする

[1]9

[2]1+3+5+7=16

[3]9+16=25

[1]25

[2]1+3+5+7+・・・+23=144

[3]25+144=169=13^2

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これを公式で表してみると

[1]1つは奇数の平方数とする。

(2n−1)^2=2(2n^2-2n+1)-1

より、2n^2-2n+1番目の奇数である

[2]もう一つは1からその奇数の平方数までの間の、すべての奇数の和とする

(2n^2-2n)^2

[3](2n−1)^2+(2n^2-2n)^2

=4n^2-4n+1+4n^2(n^2−2n+1)

=4n^4-8n^3+8n^2-4n+1

=(2n^2-2n+1)^2

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