■ポアンカレ多項式(その67)

 チェビシェフ多項式は円分多項式の相反多項式の積として表されることがわかった.

  y=x+1/x=2cos(2π/n)

であるから,2Tn(x/2),Un(x/2)はΨd(x)で因数分解され,Tn(x)=0の根はcos(kπ/2n),k=1,3,5,・・・,2n−1また,Un(x)=0の根はcos(kπ/(n+1)),k=1,2,3,・・・,n

と表される.

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 ド・モアブルの定理

  (cosθ+isinθ)^n=cosnθ+isinnθ

の左辺を2項展開して,実部と虚部を比較すると

  cosnθ=(cosθ)^n−(n,2)(cosθ)^n-2(sinθ)^2+・・・

  sinnθ=sinθ{(n,1)(cosθ)^n-1−(n,3)(cosθ)^n-2(sinθ)^2+・・・}

 x=cosθとして,xの多項式として表したものがチェビシェフ多項式である.

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