【１】円分多項式の解の代入

［１］Φ1（ｘ）＝ｘ−１＝０，ｘ＝１の代入

　　Φn（１）の値として現れる数は１以外は素数である

［２］Φ2（ｘ）＝ｘ＋１＝０，ｘ＝−１の代入

　　Φn（−１）の値として現れる数は１以外は素数，あるいは２で割ると素数のベキ乗の形である

［３］Φ3（ｘ）＝ｘ^2＋ｘ＋１＝０，ｘ＝ω，ω^2の代入

　　Φn（ω）Φn（ω^2）の値として現れる数は１以外は素数，あるいは２で割ると素数のベキ乗の形である

［４］Φ4（ｘ）＝ｘ^2＋１＝０，ｘ＝±ｉ2の代入

　　Φn（ｉ）Φn（−ｘ）の値として現れる数は１以外は素数，あるいは２で割ると素数のベキ乗の形である

［５］Φ5（ｘ）＝ｘ^4＋ｘ^3＋ｘ^2＋ｘ＋１＝０，ｘ＝α，β，γ，δの代入

　　Φn（α）Φn（β）Φn（γ）Φn（δ）の値として現れる数は１以外は素数，あるいは２で割ると素数のベキ乗の形である

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【２】円分多項式を相反多項式にする

　　ｙ＝ｘ＋１／ｘ＝２ｃｏｓ（２π／ｎ）

　　Ψ3（ｙ）＝ｙ＋１

　　Ψ4（ｙ）＝ｙ

　　Ψ5（ｙ）＝ｙ^2＋ｙ−１

　　Ψ6（ｙ）＝ｙ−１

　　Ψ7（ｙ）＝ｙ^3＋ｙ^2−２ｙ−１

　　Ψ8（ｙ）＝ｙ^2−２

　　Ψ9（ｙ）＝ｙ^3−３ｙ＋１

　　Ψ10（ｙ）＝ｙ^2−ｙ−１

　　Ψ12（ｙ）＝ｙ^2−３

　　Ψ14（ｙ）＝ｙ^3−ｙ^2−２ｙ＋１

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　さらに，三角関数のｎ倍角の公式を起源とするチェビシェフ多項式Ｔn（ｘ），Ｕn（ｘ）において，２Ｔn（ｘ／２），Ｕn（ｘ／２）はΨd（ｘ）で因数分解される．

　　２Ｔ1（ｘ／２）＝ｘ＝Ψ4（ｘ）

　　２Ｔ2（ｘ／２）＝ｘ^2−２＝Ψ8（ｘ）

　　２Ｔ3（ｘ／２）＝ｘ（ｘ^2−３）＝Ψ4（ｘ）Ψ12（ｘ）

　　２Ｔ4（ｘ／２）＝ｘ^4−４ｘ^2＝２＝Ψ16（ｘ）

　　２Ｔ5（ｘ／２）＝ｘ（ｘ^4−５ｘ^2＋５）＝Ψ4（ｘ）Ψ20（ｘ）

　　Ｕ1（ｘ／２）＝ｘ＝Ψ4（ｘ）

　　Ｕ2（ｘ／２）＝（ｘ＋１）（ｘ−１）＝Ψ3（ｘ）Ψ6（ｘ）

　　Ｕ3（ｘ／２）＝ｘ（ｘ^2−２）＝Ψ4（ｘ）Ψ8（ｘ）

　　Ｕ4（ｘ／２）＝（ｘ^2＋ｘ−１）（ｘ^2−ｘ−１）＝Ψ5（ｘ）Ψ10（ｘ）

　　Ｕ5（ｘ／２）＝ｘ（ｘ＋１）（ｘ−１）（ｘ^2−３）＝Ψ3（ｘ）Ψ4（ｘ）Ψ6（ｘ）Ψ12（ｘ）

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