■ポアンカレ多項式(その32)

  ξ=2mπ/h

  x=cosξ/2=cosmπ/h

 (その18)では,2x=2cosξ/2=yとおいて,

[3^3]→y^4−3y^2+1=0→ξ=2π/5

[3^2,1,1]→y(y^4−4y^2+2)=0→ξ=2π/8

[3^2,2,1]→(y^2−1)(y^4−4y^2+1)=0→ξ=2π/12

[3^3,2,1]→y(y^6−6y^4+9y^2−3)=0→ξ=2π/18

[3^4,2,1]→y^8−7y^6+14y^4−8y^2+1=0→ξ=2π/30

[3^5,2,1]→y(y^4−4)(y^2−1)(y^4−3y^2+1)=0→ξ=2π/0

としたが,y=4x^2とおいた場合は

[3^2,2,1]→(y−1)(y^2−4y+1)=0

[3^3,2,1]→x(y^3−6y^2+9y−3)=0

[3^4,2,1]→y^4−7y^3+14y^2−8y+1=0

となる.このような変数変換の違いはたくさんあって,誤解を招きやすい.

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 もう一度整理しておきたい.

  ξ=2mπ/h

  1=m1≦m2≦・・・≦mn=h−1,mn+1-k=mk

  exp(ξi)=exp(2mπi/h)

=cos(2mπ/h)+isin(2mπ/h)

 ここで,固有方程式

  Π(λ−exp(2mπi/h))=0

  x=λ+λ^-1=2cosξ=4cos^2(ξ/2)−2

  ここで,θ=ξ/2,X=cosθ=cos(ξ/2)とおくと

  x=2cos2θ,x+2=(2X)^2

  Uk-1(x/2)=U2k-1(X)/2X

  Uk(x/2)+Uk-1(x/2)=U2k(X)

  [3^n-1]=Anに対してUn(X)=0

  Tk(x/2)=T2k(X)

  Uk(x/2)−Uk-1(x/2)=T2k+1(X)/X

  [3^n-2,4]=BCnに対してTn(X)=0

  Tk(x/2)+Tk-1(x/2)=2XT2k-1(X)

  [3^n-3,1,1]=Dnに対してXTn(X)=0

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