■ポアンカレ多項式(その20)

[1]n次方程式:λ^n+λ^n-1+・・・+λ+1=0

λ+1=0

λ^2+λ+1=0

λ^3+λ^2+λ+1=0

λ^4+λ^3+λ^2+λ+1=0

λ^5+λ^4+λ^3+λ^2+λ+1=0

λ^6+λ^5+λ^4+λ^3+λ^2+λ+1=0

の解は,すべて複素数解で,

  |λi|=1

である.円周上の関数と考えることができるゆえんである.

 y=x+1/x=2cosθとおくと,Φn(x)→Ψ(y)

[2]チェビシェフ多項式は円分多項式を相反多項式化したものと考えることができる.Un(λ)=sin(n+1)/sinθ,λ=cosθの方程式とすることで,実数解を求めやすくすることができる.

  Un(y/2)=ΠΨ(y)

[3]円柱面上の関数と考えることができるので,tan(n+1)/tanθの方程式とすることで,実数解を求めやすくすることができる.

[4]n−2次方程式:Σ(n−ν)νλ^ν-1=0,ν=1〜n−1

n=3の場合→2λ+2=0

n=4の場合→3λ^2+4λ+3=0

n=5の場合→4λ^3+6λ^2+6λ+4=0

n=6の場合→5λ^4+8λ^3+9λ^2+8λ+5=0

の解も,すべて複素数解で,|λi|=1である.

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