ｎ次方程式：λ^n＋λ^n-1＋・・・＋λ＋１＝０

の解は，すべて複素数解で，

　　｜λi｜＝１

である．したがって，ポアンカレ方程式

　（１＋ｘ）＝０

　（１＋ｘ）（１＋ｘ＋ｘ^2）＝１＋２ｘ＋２ｘ^2＋ｘ^3＝０

　（１＋ｘ）（１＋ｘ＋ｘ^2）（１＋ｘ＋ｘ^2＋ｘ^3）＝１＋３ｘ＋５ｘ^2＋６ｘ^3＋５ｘ^4＋３ｘ^5＋ｘ^6＝０

の解も，すべて複素数解で，

　　｜ｘi｜＝１

となる．

　（１＋ｘ）（１−ｘ）＝１−ｘ^2

　（１＋ｘ）（１−ｘ）（１＋ｘ＋ｘ^2）（１−ｘ）＝（１−ｘ^2）（１−ｘ^3）

　（１＋ｘ）（１−ｘ）（１＋ｘ＋ｘ^2）（１−ｘ）（１＋ｘ＋ｘ^2＋ｘ^3）（１−ｘ）＝（１−ｘ^2）（１−ｘ^3）（１−ｘ^4）

　ポアンカレ級数の母関数は

（１−ｘ^2）（１−ｘ^3）（１−ｘ^4）／（１−ｘ）^3

であるから，無限ポアンカレ級数を考えると，その母関数は

１／（１−ｘ）^n＝（１＋ｘ）（１＋ｘ＋ｘ^2）（１＋ｘ＋ｘ^2＋ｘ^3）・・・

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

　ここではｘ→−ｘとしたものもポアンカレ多項式と呼ぶことにする．

　　１＋ｘ^3＝（１＋ｘ）（１−ｘ＋ｘ^2）

　　１＋ｘ^5＝（１＋ｘ）（１−ｘ＋ｘ^2−ｘ^3＋ｘ^4）

　　１＋ｘ^7＝（１＋ｘ）（１−ｘ＋ｘ^2−ｘ^3＋ｘ^4−ｘ^5＋ｘ^6）

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝