■リー群と表現(その149)

 A,D,Eのルートはすべて同じ長さである.

  φ=c1ρ1+・・・+cmρm

 c=Σciが最大となるものが,最大ルートρ0である.

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[1]E7

  ρ1=1/2(e1−e2−e3−e4−e5−e6+e7−e8)

  ρ2=e1+e2

  ρ3=e2−e1

  ρ4=e3−e2

  ρ5=e4−e3

  ρ6=e5−e4

  ρ7=e7−e8

  ρ0=e8−e7・・・(?)

  e2−e1=ρ3

  e2+e1=ρ2

  e1=(ρ2−ρ3)/2

  e2=(ρ2+ρ3)/2

  e3=ρ4+e2=ρ4+(ρ2+ρ3)/2

  e4=ρ5+e3=ρ5+ρ4+(ρ2+ρ3)/2

  e5=ρ6+e4=ρ6+ρ5+ρ4+(ρ2+ρ3)/2

  2ρ1=e1−e2−e3−e4−e5−e6+e7−e8

=(ρ2−ρ3)/2+ρ7−ρ6−2ρ5−3ρ4−2(ρ2+ρ3)−e6

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[2]E6

  ρ1=1/2(−e1−e2−e3−e4−e5−e6−e7+e8)

  ρ2=e1+e2

  ρ3=e2−e1

  ρ4=e3−e2

  ρ5=e4−e3

  ρ6=e5−e4

  ρ0=1/2(e1+e2+e3+e4+e5−e6−e7+e8)

  ρ0+ρ1=−e6−e7+e8

  e2−e1=ρ3

  e2+e1=ρ2

  e1=(ρ2−ρ3)/2

  e2=(ρ2+ρ3)/2

  e3=ρ4+e2=ρ4+(ρ2+ρ3)/2

  e4=ρ5+e3=ρ5+ρ4+(ρ2+ρ3)/2

  e5=ρ6+e4=ρ6+ρ5+ρ4+(ρ2+ρ3)/2

  2ρ1=(−e1−e2−e3−e4−e5−e6−e7+e8)

=−ρ6−2ρ5−3ρ4−2(ρ2+ρ3)−(ρ2−ρ3)/2−e6−e7+e8

=−ρ6−2ρ5−3ρ4−2(ρ2+ρ3)−(ρ2−ρ3)/2+ρ0+ρ1

 ρ0=ρ1+5ρ2/2+3ρ3/2+3ρ4+2ρ5+ρ6

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