■リー群と表現(その149)
A,D,Eのルートはすべて同じ長さである.
φ=c1ρ1+・・・+cmρm
c=Σciが最大となるものが,最大ルートρ0である.
===================================
[1]E7
ρ1=1/2(e1−e2−e3−e4−e5−e6+e7−e8)
ρ2=e1+e2
ρ3=e2−e1
ρ4=e3−e2
ρ5=e4−e3
ρ6=e5−e4
ρ7=e7−e8
ρ0=e8−e7・・・(?)
e2−e1=ρ3
e2+e1=ρ2
e1=(ρ2−ρ3)/2
e2=(ρ2+ρ3)/2
e3=ρ4+e2=ρ4+(ρ2+ρ3)/2
e4=ρ5+e3=ρ5+ρ4+(ρ2+ρ3)/2
e5=ρ6+e4=ρ6+ρ5+ρ4+(ρ2+ρ3)/2
2ρ1=e1−e2−e3−e4−e5−e6+e7−e8
=(ρ2−ρ3)/2+ρ7−ρ6−2ρ5−3ρ4−2(ρ2+ρ3)−e6
===================================
[2]E6
ρ1=1/2(−e1−e2−e3−e4−e5−e6−e7+e8)
ρ2=e1+e2
ρ3=e2−e1
ρ4=e3−e2
ρ5=e4−e3
ρ6=e5−e4
ρ0=1/2(e1+e2+e3+e4+e5−e6−e7+e8)
ρ0+ρ1=−e6−e7+e8
e2−e1=ρ3
e2+e1=ρ2
e1=(ρ2−ρ3)/2
e2=(ρ2+ρ3)/2
e3=ρ4+e2=ρ4+(ρ2+ρ3)/2
e4=ρ5+e3=ρ5+ρ4+(ρ2+ρ3)/2
e5=ρ6+e4=ρ6+ρ5+ρ4+(ρ2+ρ3)/2
2ρ1=(−e1−e2−e3−e4−e5−e6−e7+e8)
=−ρ6−2ρ5−3ρ4−2(ρ2+ρ3)−(ρ2−ρ3)/2−e6−e7+e8
=−ρ6−2ρ5−3ρ4−2(ρ2+ρ3)−(ρ2−ρ3)/2+ρ0+ρ1
ρ0=ρ1+5ρ2/2+3ρ3/2+3ρ4+2ρ5+ρ6
===================================